cissoïde

Imaginez un point qui glisse, tandis que des droites et des projections reportent à chaque instant une longueur. Les positions ainsi obtenues dessinent deux branches symétriques autour d'un axe. Elles se rejoignent à l'origine en une pointe, appelée point de rebroussement.

Cette courbe plane est la cissoïde droite, ou cissoïde de Dioclès. Une droite verticale joue le rôle d'asymptote : la courbe s'en approche sans que ce rapprochement efface sa forme en pointe.

La cissoïde droite est une courbe plane définie par une construction géométrique ou par une équation. Dans une construction compatible avec sa relation cartésienne, on fixe O = (0, 0), A = (a, 0) et l'hyperbole H d'équation $x^2-y^2=axx^2-y^2=ax$. Sa tangente T en A a pour équation x = a. Une droite d passant par O, de pente t différente de ±1, rencontre T en B et H une seconde fois en P. Sur d, on place M de sorte que les vecteurs $\overrightarrow{OM}\backslash overrightarrow\{OM\}$ et $\overrightarrow{BP}\backslash overrightarrow\{BP\}$ soient égaux. Quand d varie, les positions de M, auxquelles s'ajoute O, forment la courbe.

Cette construction se vérifie directement : B a pour coordonnées (a, at), tandis que $P=(\frac{a}{1-t^2},\frac{at}{1-t^2})P=\backslash left(\backslash frac\{a\}\{1-t^2\},\backslash frac\{at\}\{1-t^2\}\backslash right)$. L'égalité des vecteurs donne alors $M=(\frac{a{t}^2}{1-t^2},\frac{a{t}^3}{1-t^2})M=\backslash left(\backslash frac\{at^2\}\{1-t^2\},\backslash frac\{at^3\}\{1-t^2\}\backslash right)$. En éliminant t, on obtient bien $y^2(a+x)=x^{3}y^2(a+x)=x^3$.

Avec les coordonnées cartésiennes x et y et un paramètre a, la relation donnée est $y^2(a+x)=x^{3}y^2(a+x)=x^3$. Une écriture polaire utilise la distance ρ à l'origine et l'angle θ : $\rho =\frac{a{\sin }^2\theta }{\cos \theta ({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )}\backslash rho=\backslash frac\{a\backslash sin^2\backslash theta\}\{\backslash cos\backslash theta(\backslash cos^2\backslash theta-\backslash sin^2\backslash theta)\}$. Pour a > 0 et ρ ≥ 0, θ modulo 2π appartient à ]−π/4, π/4[ ∪ ]π/2, 3π/4[ ∪ ]5π/4, 3π/2[ ; l'origine est traitée à part. La courbe a une asymptote verticale et un point de rebroussement à l'origine. C'est une cubique algébrique rationnelle de degré 3 ; sa fermeture projective rencontre la droite à l'infini en trois points réels distincts.

Prenons la relation cartésienne de la fiche. Les données sont le paramètre a = 2 et l'abscisse x = 2. Nous cherchons les ordonnées y des points correspondants.

1. Remplaçons a et x dans l'équation : $y^2(2+2)=2^{3}y^2(2+2)=2^3$.
2. Calculons les deux membres : $4y^2=84y^2=8$.
3. Divisons par 4 : $y^2=2y^2=2$.
4. Prenons les deux racines réelles : $y=\pm \sqrt{2}y=\backslash pm\backslash sqrt\{2\}$.

Les deux points obtenus sont donc (2 ; √2) et (2 ; −√2), soit des ordonnées d'environ 1,414 et −1,414. Ce couple illustre la symétrie par rapport à l'axe horizontal.

Le contrôle se refait sans approximation : pour y = √2 comme pour y = −√2, le carré vaut 2, donc y²(2 + 2) = 2 × 4 = 8 = 2³.

Pour vérifier qu'un point appartient à la courbe cartésienne, on remplace x, y et le paramètre a dans l'équation. L'égalité exacte tranche ; avec des valeurs décimales arrondies, on tient compte de la précision annoncée.

Pour tracer la courbe, on choisit plusieurs abscisses autorisant une ordonnée réelle, puis on calcule les deux signes de y. Une construction géométrique est préférable si l'on veut observer le report de longueur plutôt que seulement le graphe d'une équation.

Pour étudier la duplication du cube dans son contexte antique, la cissoïde sert de courbe de construction. L'équation cartésienne est plus adaptée au contrôle algébrique des points, tandis que la forme polaire décrit la courbe à partir d'un angle.

Une cubique est toute courbe algébrique de degré 3 ; la cissoïde droite en est un cas particulier rationnel. Le degré 3 seul ne suffit donc pas à reconnaître une cissoïde.

L'asymptote verticale est une droite associée au comportement de la courbe, pas une branche de la cissoïde. Un point appartient à la cissoïde s'il satisfait sa construction ou son équation ; il n'y appartient pas simplement parce qu'il se trouve sur l'asymptote.

À l'origine, les deux branches ne forment pas un passage lisse : elles ont un point de rebroussement. Chercher une tangente comme en un point régulier sans examiner cette singularité conduit donc à une lecture trompeuse.

Dans l'équation $y^2(a+x)=x^{3}y^2(a+x)=x^3$, une ordonnée réelle exige que le quotient $x^3\mathrm{/}(a+x)x^3/(a+x)$ soit défini et non négatif. Pour a = 2, x = −2 est exclu, car le facteur a + x s'annule alors.

Les signes et l'échelle des équations d'une courbe dépendent du repère et de la convention choisie pour son paramètre. Changer a + x en a − x, ou inverser un axe, modifie l'écriture : il faut transformer ensemble l'équation, le repère et le tracé.

Le mot « rationnelle » ne signifie pas que toutes les coordonnées de ses points sont rationnelles. Il indique qu'un paramétrage rationnel de la courbe existe ; dans l'exemple x = 2, les ordonnées ±√2 ne sont justement pas rationnelles.

L'article coordonnées polaires aide à lire la formule qui décrit la cissoïde par une distance ρ et un angle θ.

La fiche asymptote précise le sens de la droite verticale dont la courbe se rapproche.

Pour replacer cette cubique dans une histoire plus large, l'article Tracer les courbes algébriques au XVIIIe siècle : le parallélogramme analytique de Newton et la méthode de Cramer montre d'autres pratiques de tracé et de classification.