cubique circulaire

Imaginez une courbe tracée sur un repère à partir d'une équation de degré 3. Pour savoir si elle est circulaire, on ne juge pas sa silhouette : on isole les termes de degré 3 et l'on cherche le facteur x² + y².

Ce facteur relie la courbe aux points cycliques, deux points complexes situés à l'infini. Ils ne se voient pas dans la représentation réel, mais ils constituent une signature géométrique. La cissoïde de Diocles et la strophoïde possèdent cette signature.

Une cubique circulaire est une courbe algébrique plane définie par un polynôme de degré 3 dont la partie homogène de degré 3 est divisible par x² + y². Autrement dit, les seuls termes cubiques se regroupent sous la forme $(ux+vy)(x^2+y^2)(ux+vy)(x^2+y^2)$, où les nombres u et v ne sont pas tous les deux nuls. Ce critère porte sur l'équation, pas sur l'apparence arrondie du tracé réel.

Dans le plan projectif complexe, le facteur x² + y² force la courbe à passer par les deux points cycliques situés sur la droite à l'infini. Ce sont les points de coordonnées homogènes $[1:i:0][1:i:0]$ et $[1:-i:0][1:-i:0]$. Cette propriété explique le mot « circulaire » ; elle ne signifie pas que la courbe est un cercle.

Après le choix de coordonnées associé à la forme réduite donnée, l'équation s'écrit $x(x^2+y^2)+A{x}^2+B{y}^2+2Cx+2Dy+E=0x(x^2+y^2)+Ax^2+By^2+2Cx+2Dy+E=0$. Les lettres A, B, C, D et E désignent des constantes réelles. La cissoïde de Diocles et la strophoïde en sont des exemples. L'intersection d'une sphère et d'une quadrique est en général une courbe spatiale de degré 4, et non une cubique plane. Une construction particulière ne fournit une cubique circulaire plane qu'après une dégénérescence, une projection ou une section explicitée, et après vérification que son degré est bien 3.

Prenons la strophoïde donnée par la forme réduite avec A = −1, B = 1 et C = D = E = 0. Les variables x et y sont les coordonnées d'un point du plan ; le nombre t sera la pente d'une droite passant par l'origine.

1. Les termes de degré 3 sont x(x² + y²) : le facteur requis apparaît directement.
2. Sur la droite d'équation y = tx, on remplace y par tx puis on factorise par x².

3. Pour t = 0, on obtient le point (1 ; 0). Pour t = 1 et t = −1, on retrouve l'origine (0 ; 0). Le tracé paramétré forme une boucle entre ces points et deux branches se rapprochent de la droite x = −1.

4. Un contrôle indépendant utilise t = 1/2 : le point vaut (3/5 ; 3/10). Dans l'équation, 3/5 × (9/25 + 9/100) − 9/25 + 9/100 = 27/100 − 27/100 = 0.

Le calcul confirme à la fois l'appartenance du point à la courbe et le caractère circulaire de cette cubique. La figure matérialise la boucle, le point double à l'origine et l'approche de l'asymptote.

Devant une équation cubique, regroupez d'abord les termes de degré 3. Si leur partie homogène est un produit de x² + y² par une expression linéaire, la courbe est circulaire. Une simple ressemblance avec un cercle ne suffit pas.

Pour tracer la courbe, cherchez ensuite une paramétrisation compatible avec sa géométrie. Dans l'exemple de la strophoïde, les droites y = tx transforment l'équation en une relation calculable. Un traceur numérique reste utile pour explorer, mais la substitution fournit la vérification exacte.

Dans une construction en trois dimensions, une section commune à une sphère et à une quadrique peut conduire à une courbe cyclique. Pour décider si la courbe plane obtenue est précisément cubique et circulaire, il faut encore vérifier son degré et son terme dominant.

Cubique circulaire et cubique quelconque. Toutes deux ont le degré 3, mais seule la première possède le facteur x² + y² dans sa partie homogène cubique. Le polynôme x³ + y³ − 1 ne satisfait pas ce test.

Cubique circulaire et cercle. Un cercle est une courbe de degré 2 ; une cubique circulaire est de degré 3 et peut avoir une boucle ou plusieurs branches. Le degré de l'équation tranche, même si une portion paraît arrondie.

Cubique circulaire et courbe cyclique. La seconde famille est plus large. Une section de sphère et de quadrique peut être cyclique sans que son équation plane soit nécessairement de degré 3 ; le contrôle du degré distingue les deux notions.

Le dessin réel cache les points cycliques. Ces deux points sont complexes et situés à l'infini. Leur absence sur un tracé cartésien réel n'invalide donc pas la propriété ; il faut homogénéiser l'équation et examiner sa partie de degré 3.

Une cubique peut être dégénérée. Avec A = B = C = D = E = 0, la forme réduite devient x(x² + y²) = 0. Son lieu réel ressemble surtout à la droite x = 0, mais le polynôme conserve son degré 3 et son facteur circulaire.

La forme réduite dépend du repère choisi. Une équation développée après rotation ou translation peut ne plus présenter exactement les mêmes coefficients. Il faut regrouper la partie homogène de degré maximal et tester sa divisibilité, plutôt que chercher seulement la ligne canonique terme à terme.

Le facteur ne remplace pas le contrôle du degré. Si tous les termes de degré 3 disparaissent après simplification, la courbe n'est plus cubique. On détermine d'abord le degré effectif du polynôme réduit, puis on applique le critère circulaire.

Le point cyclique précise le rôle des deux points complexes à l'infini qui donnent son nom à la famille circulaire.

La courbe algébrique replace le degré, la partie homogène et les équations polynomiales dans leur cadre général.

La strophoïde prolonge l'exemple guidé en étudiant une représentante concrète des cubiques circulaires.

La cissoïde donne un second exemple remarquable cité dans la définition de référence.

La quadrique éclaire l'une des deux surfaces dont l'intersection avec une sphère produit des courbes cycliques.