cubique circulaire axée

Pour commencer, retenez le rôle opérationnel du foyer F : prenez un point M distinct de F, appliquez une inversion de centre F, puis une réflexion dont l’axe passe par F. Le nouveau point s’appelle M'. Pour les points M de la cubique circulaire axée, le milieu entre M et M' reste sur une même droite D, l’axe de la focale. La définition projective de F par les tangentes aux points cycliques vient préciser ce foyer dans la section suivante. La courbe porte aussi les noms de focale de Van Rees, de cubique isoptique et de cubique d’Apollonius.

Une cubique circulaire axée est une courbe algébrique de degré trois, circulaire, associée à un foyer F. Ici, « circulaire » signifie que la courbe passe par ses deux points cycliques, points communs à tous les cercles du plan complexe projectif. Le foyer F est défini par l’intersection des tangentes à la courbe en ces deux points cycliques : il ne faut pas le confondre avec un point singulier de la courbe au sens algébrique. Pour l’équation donnée, l’origine appartient toujours à la courbe et reste régulière dès que b≠0 ; l’intersection des tangentes cycliques vaut en général (−b² cos(2α)/2, −b² sin(2α)/2) et n’appartient pas nécessairement à la courbe.

Dans un repère cartésien, une écriture de cette famille est donnée par les paramètres réels a, b et α :

Les coordonnées x et y désignent celles d’un point de la courbe. Le paramètre α règle une orientation, tandis que a et b règlent l’échelle et la position dans cette écriture. La famille est aussi appelée focale de Van Rees, cubique isoptique, cubique d’Apollonius ou cubique circulaire focale.

Pour vérifier le critère sur un point déjà choisi de la cubique, fixons d’abord son foyer F à l’origine, l’inversion de rayon 1, la réflexion par rapport à l’axe horizontal et la droite fixe D d’équation y=2/5. Choisissons ensuite sur cette cubique le point M de coordonnées (2, 1), distinct de F.

La distance au foyer vérifie 2² + 1² = 5. L’inversion envoie donc M sur le point de coordonnées (2/5, 1/5). La réflexion horizontale conserve l’abscisse et change le signe de l’ordonnée : M' a pour coordonnées (2/5, −1/5).

Le milieu P du segment [MM'] a alors pour coordonnées ((2 + 2/5)/2, (1 − 1/5)/2), soit (6/5, 2/5). Le calcul est contrôlable directement en additionnant les coordonnées des deux extrémités puis en divisant par 2. Comme son ordonnée vaut 2/5, P appartient bien à la droite fixe D fixée avant le calcul : ce cas vérifie donc le critère pour le point M choisi sur la cubique. Il ne s’agit pas de déduire l’appartenance de M à la courbe à partir du seul calcul du milieu.

Pour reconnaître la notion dans un texte de géométrie, cherchez d’abord une cubique circulaire associée à un foyer défini par les tangentes aux points cycliques. La présence de cette relation entre la courbe et son foyer est le marqueur décisif.

Pour exploiter la caractérisation, choisissez le foyer comme centre de l’inversion, fixez l’axe de la réflexion et la droite fixe D associés à la cubique, puis calculez l’image M' d’un point de la courbe M≠F. Le milieu de [MM'] permet ensuite de tester son appartenance à D.

Pour passer au calcul algébrique, utilisez l’équation cartésienne et identifiez les paramètres a, b et α avant de remplacer x et y. Une équation générale de degré trois ne suffit pas à elle seule : la circularité et la propriété du foyer sont nécessaires.

Une cubique circulaire axée ne se confond pas avec une cubique quelconque. Le critère à vérifier est double : la courbe est circulaire et elle possède la relation focale définie par les tangentes aux points cycliques. Une courbe de degré trois qui ne vérifie qu’un seul de ces critères n’appartient pas à cette famille.

Le nom de cubique d’Apollonius ne renvoie pas ici à une simple conique d’Apollonius, comme une hyperbole équilatère issue d’un rapport de distances. Le degré trois et la construction par foyer, inversion et réflexion sont les tests qui les séparent.

Le foyer défini par les tangentes aux points cycliques ne doit pas être confondu avec un point singulier de la courbe au sens algébrique. Une lecture limitée à la seule équation réelle peut donc masquer la construction projective qui intervient dans sa définition.

L’inversion n’est définie qu’en dehors de son centre F. Pour un point M distinct de F, l’image dépend du rayon choisi, et la réflexion doit avoir un axe passant par F. Si l’une de ces conditions manque, le milieu obtenu ne constitue pas le test décrit pour la focale.

Les paramètres de l’équation ne sont pas des coordonnées universelles du foyer. Leur interprétation dépend du repère et de la forme choisie. Il faut donc éviter d’identifier automatiquement a, b ou α à une longueur géométrique sans préciser cette convention.

La notion ouvre sur la géométrie projective et complexe des courbes circulaires : les points cycliques permettent de formuler la circularité de manière unifiée, tandis que les tangentes en ces points font apparaître le foyer défini par cette construction. Elle relie ainsi une équation de degré trois à une construction par transformations du plan.