AnalyseNotion · Glossaire
billard elliptique
Le billard elliptique est un système dynamique idéal : une bille ponctuelle se déplace en ligne droite dans une ellipse et rebondit sur son bord selon la loi de réflexion, avec des angles d'incidence et de réflexion égaux. Pour une ellipse non circulaire et hors impacts tangents, les foyers organisent les trajectoires : un trajet arrivant d'un foyer repart vers l'autre, tandis que les autres restent tangents à une ellipse ou une hyperbole confocale, ce qui permet de les classer et d'en prévoir les rebonds.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la loi de réflexion à la propriété des deux foyers.
- Calculer et contrôler un trajet focal dans une ellipse de demi-axes 5 et 4.
- Distinguer une caustique elliptique d’une caustique hyperbolique par l’intersection avec le grand axe.
- Identifier le passage focal, le grand axe, le contact tangent et le cercle comme cas limites.
En clair
Imaginez une bille ponctuelle glissant sans frottement dans une table en forme d’ellipse. À chaque choc, elle repart comme un rayon lumineux sur un miroir : l’angle avec la normale au bord est conservé. La forme de la table impose alors une organisation surprenante aux segments successifs.
Un trajet qui traverse un foyer est renvoyé vers l’autre. Les autres trajets s’enroulent autour d’une conique plus petite ou évitent une hyperbole intérieure. Cette courbe invisible, qui partage les foyers de la table, reste la même après chaque rebond.
Définition
Un billard elliptique est un billard mathématique plan : un point se déplace en ligne droite à l’intérieur d’une ellipse et se réfléchit sur son bord. Au point d’impact régulier, le segment entrant et le segment sortant font des angles égaux avec la normale à l’ellipse. La vitesse n’intervient pas dans la forme de l’orbite ; la suite des points d’impact constitue le système dynamique.
Pour une table centrée dont le demi-grand axe vaut a et le demi-petit axe vaut b, avec a > b > 0, les foyers F1 et F2 sont situés sur le grand axe à la distance c du centre, où . Une trajectoire non tangente qui passe par F1 repart après le choc vers F2, puis inverse les rôles aux rebonds suivants.
Plus généralement, chaque segment d’une même trajectoire est tangent à une conique confocale fixe, appelée caustique. Si la droite porteuse d’un segment coupe le grand axe hors du segment [F1F2], cette caustique est une ellipse. Si elle coupe le grand axe entre les foyers, la caustique est une hyperbole. Le passage exact par un foyer forme le cas séparateur dégénéré entre ces deux familles.
Un exemple, pas à pas
Prenons l’ellipse centrée d’équation . Ses demi-axes valent 5 et 4. Le trajet représenté rebondit au sommet P, puis au point Q.
Données.
Demi-grand axe : a = 5.
Demi-petit axe : b = 4.
Premier rebond : P = (0, 4).
Le segment entrant passe par le foyer gauche.
Demi-grand axe : a = 5.
Demi-petit axe : b = 4.
Premier rebond : P = (0, 4).
Le segment entrant passe par le foyer gauche.
Étape 1. La distance focale c et les deux foyers sont :
Étape 2. La propriété focale impose au segment réfléchi en P de suivre la droite de P vers F2. Paramétrons ce rayon par x = 3t et y = 4 − 4t, avec t ≥ 0. Le foyer F2 correspond à t = 1.
Étape 3. L’intersection suivante avec la table vérifie :
La solution t = 0 redonne P. L’autre donne .
Contrôle. Comme 1 < 25/17, le segment P–Q traverse bien F2 avant le rebond Q. De plus, : Q appartient exactement à l’ellipse.
En pratique
Pour tracer une trajectoire passant par un foyer, on relie le point d’impact au second foyer. Cette construction remplace le calcul de l’angle réfléchi et fournit directement la direction du segment suivant.
Pour classer une trajectoire qui ne passe pas par un foyer, on considère la droite portant l’un de ses segments. Si elle est parallèle au grand axe, la caustique est elliptique. Sinon, on la prolonge jusqu’au grand axe : une intersection extérieure au segment focal signale une caustique elliptique ; une intersection intérieure signale une caustique hyperbolique.
Dans une simulation, la conique confocale tangente à chaque segment sert de contrôle. Si elle change après un rebond, la normale, l’angle de réflexion ou le point d’impact a été calculé de façon incohérente.
À ne pas confondre
Avec une orbite elliptique. Une orbite elliptique suit elle-même une ellipse sous une action continue. Dans le billard elliptique, la table est elliptique, mais la trajectoire est une ligne brisée faite de segments.
Avec la seule propriété optique de l’ellipse. Le renvoi d’un foyer vers l’autre concerne les segments qui passent effectivement par un foyer. Un segment qui n’en traverse aucun reste organisé par une caustique elliptique ou hyperbolique.
Avec un billard matériel. Le modèle mathématique utilise un point sans taille, sans frottement et une réflexion idéale. Une bille réelle peut perdre de la vitesse ou subir des effets qui ne font pas partie de ce système dynamique.
Limites et pièges
Passage par un foyer. Le segment focal est le cas charnière entre les deux types de caustiques. Il ne faut pas lui attribuer une ellipse ou une hyperbole non dégénérée : la conique séparatrice se réduit au segment joignant les foyers.
Trajectoire sur le grand axe. Elle passe par les deux foyers et rebondit entre les deux sommets de l’ellipse. Elle est déjà entièrement aplatie ; l’expression « tend à s’aplatir » ne décrit donc aucune évolution supplémentaire dans ce cas périodique.
Impact tangent. Si un segment touche le bord sans entrer transversalement dans la table, la normale ne sépare plus deux directions intérieures distinctes. On traite ce contact comme une limite, et non comme un rebond ordinaire.
Table circulaire. Lorsque a = b, la distance focale vaut c = 0 et les deux foyers se confondent au centre. La séparation fondée sur l’intérieur ou l’extérieur du segment focal disparaît ; il faut employer la classification propre au billard circulaire.
Pour aller plus loin
Ellipse. Retrouver la définition focale et les paramètres géométriques de la table.
Conique. Situer ellipses et hyperboles dans une même famille de courbes.
Hyperbole. Examiner la courbe confocale qui organise les trajectoires traversant le segment focal.
Système dynamique. Replacer la suite des rebonds dans l’étude générale des évolutions déterministes.
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