billard concave

Imaginez un point qui glisse en ligne droite sur une table et rebondit sur son bord comme un rayon sur un miroir. Lorsque le bord se creuse vers l'espace de déplacement, deux départs presque identiques peuvent rencontrer ce bord à des endroits différents. Leurs parcours peuvent alors se séparer rapidement.

Le mouvement reste pourtant déterministe : une position et une direction fixées imposent le rebond suivant, tant que le point ne rencontre ni angle ni autre singularité. C'est l'enchaînement de ces rebonds sur une frontière concave qui rend l'étude globale difficile.

Un billard mathématique décrit le mouvement d'un point dans une région plane appelée table. Entre deux chocs, le point avance en ligne droite à vitesse constante. Sur une portion régulière du bord, il repart selon la réflexion spéculaire : l'angle d'arrivée et l'angle de départ ont la même mesure par rapport à la normale au bord.

Notons u la direction unitaire avant le choc, n la normale unitaire orientée vers l'espace où se déplace le point et u_r la direction réfléchie. La règle s'écrit :

Dans le vocabulaire de cette fiche, le billard est concave lorsqu'une partie de sa frontière est concave vue depuis la région de mouvement. Cette géométrie disperse des trajectoires voisines dans de nombreuses configurations, mais la concavité seule ne prouve pas que chaque trajectoire est chaotique. Les angles, les contacts tangents et certaines orbites particulières demandent un traitement séparé. L'étude mathématique des billards dispersifs est notamment marquée par un article de Yakov Sinai publié en 1970.

Considérons une table carrée de côté 1 contenant un obstacle circulaire de centre C = (1/2, 1/2) et de rayon 1/5. Le point part de P = (1/10, 2/5) vers la droite, avec la direction u = (1, 0).

1. La droite suivie a pour hauteur 2/5. Son premier contact avec le cercle est A = (1/2 − √3/10, 2/5), soit environ (0,327 ; 0,400).

2. La normale unitaire dirigée du centre vers A vaut n = (−√3/2, −1/2). Le produit scalaire des directions vaut u · n = −√3/2.

3. La règle de réflexion donne u_r = (−1/2, −√3/2). La trajectoire repart donc vers la gauche et vers le bas.

4. Elle atteint ensuite le bord inférieur au point B = (1/2 − 7/(10√3), 0), soit environ (0,096 ; 0). Un contrôle refaisable consiste à vérifier que A est à la distance 1/5 de C et que les deux directions font des angles opposés de même mesure avec la normale.

Pour suivre quelques rebonds, on calcule successivement le prochain point de contact puis la direction réfléchie. Cette approche directe convient tant que le bord est régulier au point rencontré et que le nombre de chocs reste limité.

Pour comparer deux départs voisins, on les fait évoluer avec la même règle et on observe l'écart entre leurs positions ou leurs directions. Si cet écart devient rapidement sensible, l'étude des trajectoires une par une cède souvent la place à une description globale du système dynamique.

Pour relier le modèle au chaos ou à la mécanique statistique, il faut examiner des ensembles de trajectoires et leurs propriétés à long terme. Un dessin de quelques rebonds suggère un comportement ; il ne suffit pas à démontrer qu'il est général.

Le billard mathématique et le jeu de billard. Le premier idéalise un point et une règle de réflexion sur une frontière ; le second met en jeu des boules de taille non nulle, des chocs entre boules et des effets physiques. La présence d'une queue et de plusieurs boules tranche immédiatement.

Billard concave et billard de Sinai. « Concave » décrit une propriété géométrique de la frontière, tandis que « de Sinai » nomme une configuration particulière associée à Yakov Sinai. La présence d'une frontière concave ne suffit donc pas, à elle seule, à identifier un billard de Sinai.

Un choc sur un angle. À un sommet, il n'existe pas de normale unique au bord. La règle habituelle ne détermine donc pas une direction réfléchie unique ; il faut exclure cette trajectoire ou annoncer une convention supplémentaire.

Un contact tangent. Quand la trajectoire effleure la frontière, l'angle avec la tangente vaut 0°. Un très petit changement du départ peut transformer cet effleurement en choc ou en absence de choc ; ce cas singulier doit être isolé.

Concavité ne signifie pas chaos automatique. Une frontière concave peut coexister avec des trajectoires particulières, notamment symétriques ou périodiques. Il faut étudier un ensemble de conditions initiales et le temps long avant d'attribuer une propriété chaotique au système.

Une figure ne constitue pas une preuve globale. Le trajet calculé de P à A, puis à B, vérifie une réflexion précise. Il n'établit aucun résultat sur toutes les trajectoires de la table.

Le système dynamique fournit le cadre pour décrire l'évolution déterminée par les positions et directions successives.

Le chaos déterministe prolonge l'étude lorsque des règles parfaitement fixées produisent une forte sensibilité aux conditions initiales.