méthode du billard

Imaginez deux récipients dont les contenances sont connues, mais dont les graduations manquent. Vous pouvez remplir un récipient, le vider ou verser son contenu dans l'autre. La méthode du billard transforme chacun de ces états en un point d'un dessin. Le chemin entre les points avance jusqu'à un bord lorsqu'un récipient est plein ou vide, puis repart comme une bille après un rebond. Ce dessin permet ainsi de suivre les transvasements et de repérer la quantité recherchée.

La méthode du billard est une représentation graphique des états successifs d'un problème de transvasement. Le diagramme est un parallélogramme construit sur papier triangulé, avec deux axes selon les directions de ses côtés : l'un horizontal et l'autre oblique. Les coordonnées d'un point indiquent les quantités de liquide présentes dans les récipients selon la convention retenue. Les limites du parallélogramme traduisent les contenances maximales et les états où un récipient est vide.

Un remplissage, une vidange ou un transfert correspond à un déplacement rectiligne jusqu'à la prochaine frontière compatible avec l'opération. Le point d'arrivée devient le point de départ du déplacement suivant. La trajectoire paraît rebondir parce qu'une frontière impose alors une nouvelle opération, comme la bande d'une table renvoie une bille. Une quantité cible se lit lorsqu'une coordonnée du chemin atteint cette valeur. La construction fournit donc une suite de transvasements, à condition que les contenances, les opérations autorisées et la quantité initiale soient fixées.

Pour appliquer la méthode, chaque point représente un état des récipients et chaque déplacement représente une opération autorisée. Le chemin part de l'état initial, suit une direction correspondant au transfert choisi et s'arrête lorsqu'un récipient devient plein ou vide. La frontière atteinte borne alors le déplacement suivant ; il faut choisir, parmi les opérations autorisées compatibles avec l'état, celle qui sera effectuée. La construction s'arrête quand une coordonnée égale la quantité recherchée ; cette égalité se lit sur l'axe associé, selon la convention du diagramme.

La méthode s'applique lorsque les contenances des récipients, l'état de départ et les opérations permises sont connus. Le dessin suppose que le liquide se transfère sans perte et que l'on peut remplir ou vider un récipient avec précision. La quantité recherchée doit être compatible avec les déplacements autorisés.

Un objectif peut rester inaccessible : avec des contenances de 2 L et 4 L, en partant de récipients vides et en n'autorisant que le remplissage, la vidange et le transvasement, on ne crée pas 1 L. Le chemin atteint seulement des quantités multiples de 2 L. Il faut alors modifier les contenances ou les opérations, plutôt que prolonger le tracé comme si une frontière manquante existait.

On dispose d'un récipient de 3 L et d'un récipient de 5 L. Les deux sont vides au départ, et l'objectif est d'obtenir 4 L dans le récipient de 5 L. Un état est noté par le couple (quantité dans le récipient de 3 L ; quantité dans celui de 5 L).

Données : contenances 3 L et 5 L ; état initial (0 ; 0) ; quantité visée 4 L.

Le récipient de 5 L est rempli : l'état devient (0 ; 5).
Il est versé dans celui de 3 L : l'état devient (3 ; 2).
Le récipient de 3 L est vidé : l'état devient (0 ; 2).
Les 2 L restants sont versés dans celui de 3 L : l'état devient (2 ; 0).
Le récipient de 5 L est rempli : l'état devient (2 ; 5).
Il est versé dans celui de 3 L jusqu'à ce que ce dernier soit plein : l'état devient (3 ; 4).

Le résultat est donc 4 L dans le récipient de 5 L. Le contrôle est direct : 2 L déjà présents dans le récipient de 3 L absorbent 1 L, et il reste 4 L dans le récipient de 5 L.

Pour un problème à deux récipients, commencez par fixer une convention : l'abscisse décrit la quantité du premier récipient et l'ordonnée celle du second. Notez l'état initial avant de tracer.

À chaque étape, identifiez le récipient qui devient plein ou vide. Le tracé est préférable à une liste isolée lorsque plusieurs transferts s'enchaînent, car il rend visibles les retours sur une même frontière.

Pour vérifier une solution, relisez les états dans l'ordre et contrôlez chaque transfert par conservation du volume. Une solution algébrique est une alternative utile lorsque les contenances ou les opérations ne se prêtent pas à une construction graphique nette.

La méthode du billard ne se confond pas avec une simple liste d'essais. Une liste énumère des transvasements ; le diagramme relie ces opérations à des états et fait apparaître les frontières qui les imposent. Le cas qui tranche est celui où une suite revient exactement au même état, c'est-à-dire au même couple de quantités : le tracé signale la répétition, tandis qu'une liste peut la masquer.

Une frontière atteinte ne signifie pas toujours que la quantité cible est obtenue. Dans l'exemple des contenances 3 L et 5 L, le point (3 ; 2) indique que le premier récipient est plein, mais la quantité 4 L n'est pas encore présente. Il faut poursuivre selon une opération autorisée et lire la bonne coordonnée.

Le résultat dépend de la convention des axes. Si l'abscisse et l'ordonnée sont inversées, le même chemin est interprété avec les deux récipients échangés. Pour éviter une fausse lecture, le dessin doit nommer les deux axes et associer chaque valeur à son récipient.

Enfin, une construction graphique ne rend pas possible une opération interdite. Elle ne remplace pas l'hypothèse de remplissage, de vidange ou de transfert sans perte. Si l'une de ces opérations est exclue, les segments correspondants doivent être retirés du chemin.

Le dessin peut se lire comme un graphe d'états : les sommets sont les états retenus et les arêtes représentent les opérations autorisées. Les points intermédiaires d'un segment ne sont pas nécessairement des états discrets. Cette lecture permet de rechercher un chemin vers une quantité cible et de repérer une répétition d'état, même lorsque le tracé n'est plus présenté comme un billard.