Torricelli Evangelista

En 1644, à Florence, Evangelista Torricelli rend visible un phénomène que personne ne voit : la pression de l’air. Dans son tube de mercure, la colonne se stabilise à environ 0,76 m sous la pression atmosphérique de référence. Le vide laissé au-dessus devient aussi important que le liquide lui-même.

Ce physicien et mathématicien italien ne se résume pourtant pas au baromètre. Il relie aussi la profondeur d’un orifice à la vitesse d’un liquide, travaille sur les indivisibles et étudie des objets géométriques surprenants. Sa trompette de Gabriel enferme ainsi un volume fini malgré une aire infinie.

Evangelista Torricelli (1608-1647) est un physicien et mathématicien italien né à Faenza. Après des études dans sa ville natale, il gagne Rome et devient en 1626 l’élève de Benedetto Castelli, disciple de Galilée et auteur de travaux en hydraulique. En 1641, Castelli remet à Galilée, alors aveugle à Florence, le De Motu de Torricelli. Invité à Florence, Torricelli y rejoint Galilée puis, après la mort de celui-ci, devient en février 1642 mathématicien du Grand-Duc de Toscane.

Lors d’une expérience généralement datée de 1643, Torricelli met en évidence la pression atmosphérique et invente le baromètre à tube de mercure, ou tube de Torricelli ; la description de l’expérience est publiée en 1644. Torricelli ne publie lui-même rien sur cette découverte, probablement pour éviter un conflit avec les autorités religieuses opposées à l’idée d’un vide dans la chambre barométrique ; Galilée avait été condamné en 1633. Les fontainiers connaissaient déjà un indice empirique : les pompes aspirantes ne pouvaient élever l’eau au-delà d’une dizaine de mètres. Avec du mercure, la colonne mesurait environ 0,76 m sous la pression atmosphérique de référence.

Sa loi d’hydrodynamique concerne un récipient ouvert et assez large, rempli d’un liquide idéal et percé d’un petit orifice à une profondeur h sous la surface libre, lorsque les frottements sont négligeables. Si g désigne l’accélération de la pesanteur, la vitesse d’écoulement v donnée par la loi est $v=\sqrt{2gh}v=\backslash sqrt\{2gh\}$. En mathématiques, Torricelli améliore la méthode des indivisibles de Cavalieri en leur conférant une épaisseur, ce qui résout une incohérence interne. Il étudie aussi les barycentres, la quadrature de la cycloïde et la spirale logarithmique. Sa trompette de Gabriel, obtenue par rotation d’une portion d’hyperbole autour de son axe, possède une aire infinie et un volume fini. Il introduit enfin le diagramme horaire en cinématique. Emporté par la typhoïde à trente-neuf ans, il laisse une œuvre publiée restreinte au regard de ses découvertes.

Un récipient contient un liquide. Pour ce calcul, son orifice est placé à 1,20 m sous la surface libre. La figure rend visibles la surface, la profondeur et le jet. Les données sont :
• profondeur de l’orifice : h = 1,20 m ;
• accélération de la pesanteur : g, conservée sous forme symbolique ;
• vitesse cherchée : v.

1. On applique la loi de Torricelli au récipient percé : $v=\sqrt{2gh}v=\backslash sqrt\{2gh\}$.

2. On remplace la profondeur h par 1,20 m, sans attribuer de valeur numérique à g :

3. Le résultat exact dans ces données est donc √(2,40 m × g). Le contrôle est refaisable : le nombre 2,40 provient uniquement de 2 × 1,20. Si la profondeur était nulle, la même formule donnerait une vitesse nulle.

Pour reconnaître l’expérience barométrique, on repère un tube de mercure et une colonne haute d’environ 0,76 m dans les conditions de référence, cette hauteur variant avec la pression atmosphérique. Le phénomène à identifier est la pression atmosphérique, et non une simple propriété géométrique du tube.

Pour étudier un liquide qui sort d’un récipient percé, on mesure la profondeur h entre la surface libre et l’orifice. La loi de Torricelli relie alors cette profondeur à la vitesse d’écoulement ; la hauteur totale du récipient n’est pas la donnée nommée par la formule.

Pour situer Torricelli en mathématiques, on suit plusieurs traces distinctes : les indivisibles de Cavalieri, les barycentres, la cycloïde, la spirale logarithmique et la trompette de Gabriel. Cette dernière attire l’attention sur le contraste entre aire infinie et volume fini.

En cinématique, le repère utile est le diagramme horaire introduit par Torricelli. Il faut le distinguer de ses travaux d’hydrodynamique : l’un relève de la représentation du mouvement, l’autre relie profondeur et vitesse d’écoulement.

Torricelli et le tube de Torricelli. Torricelli est la personne ; le tube est le baromètre à mercure qu’il invente. Une date de naissance ou le De Motu renvoie au savant, tandis qu’une colonne de mercure de 0,76 m renvoie à l’instrument.

Tube de Torricelli et loi de Torricelli. Le premier met en évidence la pression atmosphérique. Dans les conditions usuelles de la loi — récipient ouvert et assez large, petit orifice, liquide idéal et frottements négligeables —, la seconde donne la vitesse d’un liquide sortant par un orifice situé à la profondeur h. La présence d’une chambre barométrique indique le tube ; celle d’un récipient percé indique la loi.

Trompette de Gabriel et baromètre. La trompette est une surface mathématique issue de la rotation d’une portion d’hyperbole ; le baromètre est un instrument physique à mercure. Le contraste « aire infinie, volume fini » identifie la première, et la colonne de 0,76 m le second.

La profondeur part de la surface libre. Dans la loi de Torricelli, h est la distance entre cette surface et l’orifice. Prendre la hauteur totale du récipient change la donnée et ne suit plus l’énoncé source.

Le cas charnière h = 0. Un orifice placé au niveau de la surface donne v = 0 dans la formule. Une valeur négative de h ne décrit pas une profondeur sous la surface libre ; il faut alors reprendre le repérage.

Dix mètres d’eau et 0,76 m de mercure ne sont pas deux profondeurs interchangeables. Ces valeurs concernent le problème des colonnes de liquide dans le récit barométrique. Le calcul d’écoulement guidé emploie pour h une donnée distincte, 1,20 m, afin de ne pas confondre les deux phénomènes.

Aire infinie ne signifie pas volume infini. La trompette de Gabriel est précisément le contre-exemple cité par la source : sa surface a une aire infinie, alors que son volume reste fini. Il faut donc examiner séparément les deux grandeurs.

Galilée — Situer le savant qui invite Torricelli à Florence et dont celui-ci devient le successeur en Toscane.

cycloïde — Examiner la courbe dont Torricelli étudie la quadrature.

spirale logarithmique — Prolonger l’un des objets géométriques étudiés par Torricelli.

barycentre — Approfondir un autre domaine auquel Torricelli a consacré ses recherches.