spirale logarithmique

Imaginez un point qui tourne autour d’un centre tout en s’en éloignant. À chaque demi-tour, sa distance au centre double : 2 cm, puis 4 cm, puis 8 cm. Les spires s’écartent donc de plus en plus, mais la forme générale ne change pas quand on l’agrandit.

Si le rayon suit une loi exponentielle continue en fonction de l’angle sur toute la courbe, la courbe ainsi tracée est une spirale logarithmique ; les trois valeurs seules ne suffisent pas à l’identifier. Sa tangente coupe chaque rayon issu du centre sous le même angle, d’où son autre nom de spirale équiangle.

Une spirale logarithmique est une courbe plane décrite en coordonnées polaires. Le rayon r, c’est-à-dire la distance au pôle O, dépend de l’angle polaire θ. Si a est un rayon initial strictement positif et k une constante réelle non nulle, son équation usuelle est $r(\theta )=a{e}^{k\theta }r(\backslash theta)=a\; e^\{k\backslash theta\}$. Une écriture équivalente est $r(\theta )=a{b}^{\theta }r(\backslash theta)=a\; b^\{\backslash theta\}$, avec une base b strictement positive et différente de 1. On a alors $\ln r=\ln a+\theta \ln b\backslash ln\; r=\backslash ln\; a+\backslash theta\backslash ln\; b$.

Des augmentations égales de θ multiplient donc r par un même facteur : une progression arithmétique des angles produit une progression géométrique des rayons. La tangente garde un angle constant avec le rayon vecteur, propriété à l’origine du nom spirale équiangle. Le signe de k fixe le sens dans lequel le rayon croît pour une orientation donnée.

On rencontre aussi les noms spirale de croissance, spirale de Bernoulli, spirale de Descartes et spira mirabilis. Varignon a introduit le nom « spirale logarithmique ». Descartes et Torricelli l’étudiaient en 1638 ; Jacques Bernoulli (1654–1705) s’intéressa à ses invariances. Sa développée, enveloppe de ses normales, est encore une spirale logarithmique semblable à la courbe initiale.

On trace une spirale dont le rayon initial vaut 2 cm et double chaque fois que l’angle augmente de π radians, soit un demi-tour. Les données sont donc a = 2 cm, un facteur 2 et un pas angulaire π.

1. On traduit ces données par $r(\theta )=2\times 2^{\theta \mathrm{/}\pi }r(\backslash theta)=2\backslash times\; 2^\{\backslash theta/\backslash pi\}$, avec r exprimé en centimètres.
2. À θ = 0, le rayon vaut exactement 2 cm.
3. À θ = π, il vaut 2 × 2 = 4 cm.
4. À θ = 2π, il vaut 2 × 2² = 8 cm.

Après un tour complet, le point revient sur le rayon de départ, mais quatre fois plus loin du centre. Le contrôle consiste à appliquer deux doublements successifs : 2 × 2 × 2 = 8 cm. La courbe représentée matérialise ce tour et ces deux positions alignées.

Dans certaines coquilles de mollusques, certaines fleurs et certaines galaxies spirales, ce modèle décrit une forme dont l’échelle augmente pendant la rotation. Il faut mesurer plusieurs rayons séparés par le même angle : un rapport à peu près constant soutient le modèle logarithmique.

En architecture, une spirale logarithmique peut organiser une composition qui conserve le même profil au fil de l’agrandissement. Si l’écart entre deux tours doit rester constant plutôt que se multiplier, la spirale d’Archimède est l’alternative adaptée.

La forme en spirale a aussi été employée pour certains barrages afin d’accroître leur résistance mécanique à la pression. Le choix relève alors d’un calcul de structure ; la seule ressemblance visuelle avec une spirale logarithmique ne suffit pas.

Spirale d’Archimède. Son rayon augmente d’une même quantité quand l’angle augmente d’une même quantité : les tours successifs sont régulièrement espacés. Dans une spirale logarithmique, c’est le rapport des rayons qui reste constant. Si le rayon vaut 2 cm, 4 cm puis 6 cm à angles régulièrement espacés, ces mesures sont compatibles avec un modèle archimédien ; s’il vaut 2 cm, 4 cm puis 8 cm, elles sont compatibles avec un modèle logarithmique. Pour identifier toute la courbe, il faut vérifier que le rayon dépend de l’angle selon la loi affine ou exponentielle correspondante sur tout l’intervalle considéré.

Spirale d’or. C’est un cas particulier de spirale logarithmique associé au nombre d’or, et non un synonyme de toute spirale logarithmique. Une courbe dont le rayon double à chaque demi-tour, comme dans l’exemple, reste logarithmique sans être identifiée pour autant comme spirale d’or.

Paramètre de croissance nul. Dans l’écriture $r(\theta )=a{e}^{k\theta }r(\backslash theta)=a\; e^\{k\backslash theta\}$, le cas k = 0 donne le cercle de rayon a, pas une spirale qui s’enroule ou se déploie. Il faut donc exiger k non nul pour la notion usuelle.

Centre jamais atteint à angle fini. Avec a strictement positif, le rayon reste positif pour tout angle fini. La courbe s’approche indéfiniment du pôle dans un sens de parcours, mais le pôle est une limite et non un point ordinaire de la spirale.

Ressemblance naturelle. Une coquille, une fleur ou une galaxie peut évoquer cette courbe sans en suivre exactement la loi. Il faut comparer des rapports de rayons à intervalles angulaires égaux et tenir compte de la précision des mesures, plutôt que conclure sur une image isolée.

Invariance à préciser. Une rotation, une homothétie ou la construction de la développée conduit à une spirale logarithmique semblable ; cela ne signifie pas que chaque point reste fixe. La formule eadem mutata resurgo exprime cette permanence de forme sous transformation.

La Développée éclaire l’enveloppe des normales et l’invariance qui fascinait Bernoulli.

La spirale d’Archimède permet de comparer croissance additive du rayon et croissance multiplicative.

Le nombre d’or précise le facteur particulier qui intervient dans la spirale d’or.