Bernoulli Jacques

À Bâle, en 1683, Jacques I Bernoulli devient professeur de mathématiques. Il a délaissé les études de théologie et de philosophie voulues par ses parents. Il explore alors une question concrète : que peut-on prévoir quand une expérience n’a que deux issues, comme un succès ou un échec ?

Ses travaux relient ce type d’épreuve au comptage des résultats et à la stabilité des fréquences quand les essais se multiplient. Le même savant étudie aussi des courbes, des séries et des équations différentielles.

Jacques I Bernoulli, également nommé Jacob I (1654–1705), est un mathématicien de la famille Bernoulli, établie à Bâle et d’origine anversoise. Destiné par ses parents à la théologie et à la philosophie, il choisit les mathématiques et l’astronomie. De 1676 à 1683, ses voyages en France, en Angleterre et aux Pays-Bas nourrissent ses correspondances scientifiques. Il obtient en 1683 une chaire à l’université de Bâle, qu’il conserve jusqu’à sa mort.

Avec son frère Jean I, il contribue à développer et à diffuser le calcul différentiel et intégral fondé par Leibniz ; l’expression « calcul intégral » lui est attribuée. Entre 1687 et 1690, il introduit les coordonnées polaires, propose des méthodes pour les équations différentielles et publie la première intégration de l’équation qui porte son nom. Ses recherches sur l’isopérimètre et la courbe isochrone ouvrent la voie au calcul des variations. Il étudie aussi la lemniscate et la spirale logarithmique.

Ses recherches sur les probabilités et les séries conduisent aux nombres de Bernoulli. Publié après sa mort en 1713, l’Ars conjectandi établit des bases de la théorie statistique des probabilités : épreuve de Bernoulli, loi binomiale et démonstration de la loi faible des grands nombres. Il prouve aussi que la série harmonique diverge et que la série des inverses des carrés converge. Jacques II Bernoulli (1759–1789), son petit-neveu, appartient à la troisième génération de mathématiciens de la famille. Contraint par la tradition familiale à étudier le droit, il occupe ensuite différentes charges en Allemagne et en Italie, puis est nommé à Saint-Pétersbourg, où son grand-oncle Daniel avait travaillé avec Euler. Il épouse la petite-fille d’Euler, mais se noie peu après dans la Neva. Ses recherches en balistique, élasticité et hydrostatique paraissent dans les Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae et d’autres recueils académiques.

Dans un ouvrage de probabilités, le nom de Jacques I Bernoulli apparaît près de l’épreuve à deux issues, de la loi binomiale ou de la loi faible des grands nombres. En analyse, il accompagne les nombres de Bernoulli, une équation différentielle, la série harmonique ou le calcul des variations. En géométrie, il reste attaché à la lemniscate et à la spirale logarithmique.

Les dates constituent un marqueur décisif : 1654–1705 renvoie à Jacques I, tandis que 1759–1789 renvoie à Jacques II. Le second se rencontre dans l’histoire de la balistique, de l’élasticité et de l’hydrostatique, notamment à Saint-Pétersbourg.

Pour situer une mention de « Jacques Bernoulli », il faut d’abord relever le prénom alternatif éventuel : Jacob I identifie Jacques I. Ensuite, la période sépare les deux hommes : le premier appartient aux XVII^e et XVIII^e siècles, le second à la fin du XVIII^e siècle.

Le domaine fournit le troisième indice. Probabilités, calcul infinitésimal, séries, équations différentielles et courbes orientent vers Jacques I ; balistique, élasticité et hydrostatique orientent vers Jacques II. Enfin, une date de publication doit être rattachée à l’œuvre concernée : 1713 est celle de la parution posthume de l’Ars conjectandi, non une année d’activité de son auteur.

Le piège visuel est le patronyme commun à plusieurs savants de la famille. Le bon réflexe consiste à vérifier le prénom, le numéro de génération, les dates et le sujet avant d’attribuer un résultat.

Considérons cinq épreuves indépendantes. Chacune produit un succès avec une probabilité de 1/2, et un échec avec la même probabilité. Le nombre total d’épreuves est noté n = 5 et la probabilité d’un succès p = 1/2. Le nombre de succès obtenu est noté X ; le nombre recherché est k = 2. De zéro à cinq succès, les six probabilités forment une distribution symétrique dont le total vaut 1.

1. Parmi les 2⁵ = 32 suites équiprobables de succès et d’échecs, il faut compter celles qui contiennent exactement deux succès.
2. Le nombre de choix de deux positions parmi cinq vaut 10.
3. La probabilité cherchée est donc :

La probabilité d’obtenir exactement deux succès est donc 0,3125, soit 31,25 %. Pour contrôler le calcul, on additionne les six probabilités de zéro à cinq succès : les coefficients 1, 5, 10, 10, 5 et 1 totalisent 32, donc leur somme divisée par 32 vaut exactement 1.

En probabilités, on reconnaît une épreuve de Bernoulli lorsqu’un essai n’a que deux issues et que l’une est appelée succès. Pour plusieurs essais indépendants de même probabilité, la loi binomiale compte le nombre de succès ; si ces conditions changent, ce modèle n’est plus le bon choix.

Pour étudier une longue répétition d’épreuves indépendantes ayant la même probabilité de succès, la loi faible des grands nombres relie la fréquence observée à cette probabilité. Elle décrit une stabilisation probabiliste, et non la certitude d’obtenir exactement la proportion attendue dans une série finie.

En analyse, le nom de Jacques I sert de repère entre plusieurs objets distincts : nombres de Bernoulli, équation différentielle, série harmonique et calcul des variations. Il faut choisir l’objet indiqué par le problème plutôt que supposer qu’un unique « résultat de Bernoulli » les englobe.

En géométrie, la lemniscate et la spirale logarithmique prolongent ce portrait. Jacques I souhaitait que cette dernière soit gravée sur sa tombe avec la devise Eadem mutata resurgo, « Elle renaît changée en elle-même ».

Jacques I et Jacques II Bernoulli. Les dates et les domaines les séparent. Une mention de l’Ars conjectandi ou de la loi faible des grands nombres désigne Jacques I ; un travail de la fin du XVIII^e siècle sur l’hydrostatique peut désigner Jacques II.

Jacques I et Jean I Bernoulli. Jean I est le frère avec lequel Jacques I travaille sur le calcul différentiel et intégral. La collaboration ne rend pas leurs identités interchangeables : l’Ars conjectandi est l’œuvre de Jacques I.

Jacques et Daniel Bernoulli. Daniel est le grand-oncle de Jacques II et avait travaillé à Saint-Pétersbourg avec Euler. Ce lien familial ne fait pas de Daniel un autre nom de Jacques II.

Un nom ambigu. « Jacques Bernoulli » sans date ni domaine ne suffit pas toujours à identifier la personne. Il faut rechercher Jacob I, le numéro de génération, les années ou le champ de recherche avant de conclure.

Une attribution à nuancer. Jacques I contribue avec Jean I à développer et populariser les fondements du calcul posés par Leibniz. Il serait donc inexact de lui attribuer seul la création du calcul différentiel et intégral ; seule l’expression « calcul intégral » lui est attribuée dans la source.

Une publication posthume. L’année 1713 correspond à la publication de l’Ars conjectandi, huit ans après la mort de Jacques I en 1705. Elle ne doit pas être présentée comme la date d’une démonstration faite publiquement cette année-là.

Un patronyme, plusieurs objets. Épreuve, loi binomiale, équation, nombres, lemniscate et spirale ne sont pas des variantes d’une même notion. Le symptôme du piège est une formule ou un domaine qui change ; il faut alors nommer l’objet complet.

La loi binomiale formalise le comptage du nombre de succès dans une répétition d’épreuves de Bernoulli indépendantes et de même probabilité.

L’article La première loi des grands nombres prolonge le rôle historique et probabiliste de Jacques I Bernoulli.

La série harmonique permet d’examiner précisément l’un des résultats d’analyse démontrés par Jacques I : sa divergence.

La spirale logarithmique éclaire la courbe que Jacques I associait à la devise Eadem mutata resurgo.