série harmonique

Prenez 1, ajoutez 1/2, puis 1/3, 1/4, et continuez avec l’inverse de chaque entier positif. Les morceaux ajoutés deviennent de plus en plus petits : 1/100 est minuscule à côté de 1. Pourtant, leur total ne finit jamais par se stabiliser.

Cette addition sans fin est la série harmonique. Après un nombre fini n d’additions, son total s’appelle H_n. Quand n augmente, H_n dépasse finalement toute borne fixée, même si chaque nouveau morceau tend vers zéro.

La série harmonique est la série numérique obtenue en additionnant les inverses des entiers positifs. L’entier k désigne le rang du terme, et le terme de rang k vaut 1/k. Pour un entier positif n, la somme des n premiers termes est appelée somme partielle et notée H_n.

La définition s’écrit $H_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}H\_n=\backslash sum\_\{k=1\}^\{n\}\backslash frac\{1\}\{k\}$. Chaque terme est positif, donc chaque nouvelle somme partielle est supérieure à la précédente. Cependant, cette croissance ne se rapproche d’aucun nombre réel fini : la suite des sommes partielles n’a pas de borne supérieure. On exprime cette divergence par ${\lim }_{n\to +\mathrm{\infty }}{H}_n=+\mathrm{\infty }\backslash lim\_\{n\backslash to+\backslash infty\}H\_n=+\backslash infty$.

Le fait que 1/k tende vers zéro est nécessaire pour qu’une série puisse converger, mais il ne suffit pas. La série harmonique fournit précisément ce contre-exemple : ses termes s’annulent à la limite, tandis que leur accumulation reste sans borne.

La série repose sur quatre éléments. L’indice k parcourt les entiers à partir de 1. Le terme 1/k associe à chaque rang son inverse. La somme partielle H_n additionne les termes des rangs 1 à n. Enfin, la suite des sommes partielles rassemble H₁, H₂, H₃, et ainsi de suite.

La valeur de H_n dépend donc du rang final n, et H_n+1 dépend de H_n par l’ajout de 1/(n + 1). La positivité de cet ajout rend les sommes partielles strictement croissantes. Ces données suffisent à calculer toute somme partielle et à étudier le comportement de la série quand le rang augmente.

Données. On calcule H₈, la somme des huit inverses 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7 et 1/8. On regroupe ensuite les termes dont les rangs sont compris entre deux puissances de 2.

1. L’addition exacte donne $H_8=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}=\frac{761}{280}H\_8=1+\backslash frac12+\backslash frac13+\backslash frac14+\backslash frac15+\backslash frac16+\backslash frac17+\backslash frac18=\backslash frac\{761\}\{280\}$, soit environ 2,718.

2. On découpe cette somme en quatre groupes : le terme 1, puis 1/2, puis les rangs 3 à 4, enfin les rangs 5 à 8.

3. Dans le groupe des rangs 3 à 4, chaque terme vaut au moins 1/4 ; sa somme vaut donc au moins 2 × 1/4 = 1/2. Dans celui des rangs 5 à 8, chaque terme vaut au moins 1/8 ; sa somme vaut au moins 4 × 1/8 = 1/2.

4. Le procédé continue. Pour tout entier m ≥ 1, le groupe allant du rang 2^m−1 + 1 au rang 2^m contient 2^m−1 termes, tous au moins égaux à 1/2^m. Ainsi ${\sum }_{k=2^{m-1}+1}^{2^m}\frac{1}{k}\ge \frac{1}{2}\backslash sum\_\{k=2^\{m-1\}+1\}^\{2^m\}\backslash frac1k\backslash ge\backslash frac12$. Chaque nouveau groupe ajoute donc au moins 1/2.

Contrôle. Les deux groupes après 1 et 1/2 apportent au moins 1/2 chacun. En répétant le découpage, on peut ajouter autant de demi-unités que souhaité : les sommes partielles ne peuvent avoir de borne supérieure.

Pour obtenir un total à un rang fixé, on additionne directement les inverses jusqu’à ce rang. Cette méthode donne H_n exactement ou numériquement. Si la question porte sur l’addition infinie, une longue liste de valeurs ne suffit pas : il faut établir un comportement valable au-delà de tout rang calculé.

Pour décider si une série peut converger, on vérifie d’abord si son terme général tend vers zéro. Lorsque ce test échoue, la divergence est immédiate. Lorsqu’il réussit, la série harmonique montre qu’il faut un argument supplémentaire ; ici, le regroupement par puissances de 2 fournit cet argument.

Série harmonique et somme harmonique H_n. H_n est un nombre obtenu après n termes, donc une somme finie. La série décrit le comportement de toutes ces sommes partielles lorsque n grandit. Pour n = 8, H₈ = 761/280 est fini, mais la série diverge.

Série harmonique et série harmonique alternée. Dans la série harmonique, tous les termes 1/k sont positifs. Une écriture où les signes plus et moins alternent désigne une autre série. Le signe du terme de rang 2 suffit à trancher : il est positif ici.

Commencer au rang zéro. L’expression 1/k n’est pas définie pour k = 0. Une somme écrite à partir de zéro ne décrit donc pas la série harmonique telle qu’elle est définie ici. L’indice doit commencer à 1.

Conclure grâce au seul terme général. Observer que 1/k tend vers zéro ne prouve pas la convergence. Le symptôme du piège est une conclusion tirée sans examiner les sommes partielles. Il faut appliquer un argument supplémentaire ; le regroupement montre ici qu’une demi-unité au moins revient indéfiniment.

Confondre une grande somme partielle avec l’infini. Pour chaque entier fini n, H_n reste un nombre fini. La divergence signifie qu’aucune borne ne convient à toutes les sommes partielles. Il faut donc faire varier n, et non attribuer la valeur +∞ à un H_n particulier.

convergence d'une série numérique — Situer la série harmonique dans le cadre général des sommes partielles et des critères de convergence.

fonction logarithme népérien — Prolonger l’étude de la croissance des sommes harmoniques par une fonction de référence.

constante d'Euler-Mascheroni — Approfondir l’écart entre une somme harmonique et la croissance logarithmique.

Les toujours étonnantes curiosités de la série harmonique — Découvrir d’autres phénomènes liés à cette série dans un article entièrement consacré au sujet.