Mengoli Pietro

Imaginez une addition dont les termes deviennent de plus en plus petits : 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4, et ainsi de suite. Pietro Mengoli a étudié ce qui arrive quand cette addition se poursuit indéfiniment. Il montre que la série harmonique finit par dépasser toute borne, tandis que l'alternance des signes produit un comportement différent : 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + … se rapproche de ln(2).

Cette question appartient à l'histoire des séries, c'est-à-dire des additions organisées d'une infinité de termes. Elle éclaire aussi les débuts du calcul intégral, puisque Mengoli relie une aire à des approximations par polygones inscrits et circonscrits.

Pietro Mengoli est un mathématicien italien né à Bologne en 1626 et mort en 1686. Formé à l'université sous la direction de Cavalieri, il lui succède en 1648 à la chaire de mathématiques. Sa notice est surtout associée à l'étude des séries, c'est-à-dire des sommes dont le nombre de termes augmente sans limite.

La série harmonique additionne les inverses des entiers positifs : ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{1\}\{n\}$. Mengoli en démontre la divergence : ses sommes partielles ne se rapprochent d'aucune valeur finie. La série harmonique alternée, qui change de signe à chaque terme, converge vers le logarithme naturel de 2, noté ln(2) : $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots =\ln (2)1-\backslash frac\{1\}\{2\}+\backslash frac\{1\}\{3\}-\backslash frac\{1\}\{4\}+\backslash cdots=\backslash ln(2)$.

Il calcule aussi plusieurs séries fractionnaires, notamment celles dont le terme général est 1/[n(n+r)] ou 1/[n(n+1)(n+2)]. En géométrie, Mengoli définit l'intégrale comme une aire approchée par des polygones inscrits et circonscrits.

Prenons les huit premiers termes de la série harmonique alternée. Les données sont les termes 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7 et 1/8, avec un signe qui alterne en commençant par le signe +.

La première somme partielle vaut 1.
Après le deuxième terme, elle vaut 1 − 1/2 = 1/2.
Après le troisième terme, elle vaut 1/2 + 1/3 = 5/6.
Après le quatrième terme, elle vaut 5/6 − 1/4 = 7/12.
Après le huitième terme, elle vaut 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − 1/6 + 1/7 − 1/8 = 533/840, soit environ 0,6345.

Le contrôle consiste à regrouper les termes deux par deux : (1 − 1/2) + (1/3 − 1/4) + (1/5 − 1/6) + (1/7 − 1/8) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + 1/56 = 533/840. La valeur est encore inférieure à ln(2), mais les sommes partielles oscillent autour de leur limite et l'écart diminue.

Pour lire la contribution de Mengoli, on commence par distinguer une somme finie d'une série. Une somme finie possède un dernier terme ; une série est étudiée par la suite de ses sommes partielles. Cette suite permet de constater si une valeur stable apparaît, si les sommes croissent sans borne ou si elles divergent en oscillant ou selon un comportement non monotone.

Pour observer la série harmonique alternée, on additionne successivement les inverses des entiers en changeant de signe. Les termes ajoutés diminuent, donc les oscillations se resserrent ; la comparaison pertinente est alors avec ln(2), plutôt qu'avec la série harmonique sans alternance.

Pour comprendre son idée géométrique, on compare une aire à deux familles de polygones : les polygones inscrits restent à l'intérieur de la figure et les polygones circonscrits l'enveloppent. L'alternative dépend ici du type d'approximation recherché : borne inférieure ou borne supérieure.

La série harmonique et la série harmonique alternée ne donnent pas le même verdict. Dans la première, tous les termes sont positifs et la somme diverge ; dans la seconde, les signes alternent et la somme converge vers ln(2). Le cas qui tranche est précisément l'apparition du signe − devant un terme sur deux.

Une somme partielle n'est pas la somme de la série. La somme partielle s'arrête à un entier n donné, tandis que la série désigne l'étude de toutes ces sommes lorsque n augmente. Ainsi, 533/840 est la huitième somme partielle de l'exemple, pas la valeur exacte de la série harmonique alternée.

Une somme partielle qui paraît presque immobile ne suffit pas à prouver la convergence. Pour la série harmonique, les termes 1/n tendent vers zéro, mais les sommes continuent de croître sans borne. Il faut donc examiner le comportement de toute la suite des sommes partielles, et non le seul terme ajouté.

L'alternance des signes n'autorise pas n'importe quel réarrangement. L'exemple de Mengoli conserve l'ordre naturel des termes 1, 1/2, 1/3, … et alterne les signes dans cet ordre. Si l'ordre change, on n'étudie plus la même suite de sommes partielles : il faut alors préciser ce nouvel ordre avant d'en tirer une conclusion, et ne pas lui attribuer automatiquement la limite ln(2).

Dans l'exemple à huit termes, la somme 533/840 est environ 0,6345, alors que la limite ln(2) est environ 0,6931. Ces deux nombres ne sont donc pas égaux : le premier est une approximation finie, le second la valeur vers laquelle les sommes partielles convergent.

La série harmonique offre un prolongement naturel pour replacer le résultat de Mengoli dans l'histoire des séries. La fiche consacrée à la série harmonique permet de suivre plus précisément la divergence de la somme des inverses des entiers positifs, tandis que Mengoli en a étudié plusieurs variantes alternées et fractionnaires.

Son approche géométrique peut aussi être rapprochée de l'article Histoire d'une géométrie « pas comme les autres », qui donne un contexte historique aux constructions par figures et aux liens entre géométrie et analyse.