suite semi-harmonique

On part de 1, on retire 1/2, on ajoute 1/3, puis on retire 1/4. Les signes changent à chaque terme tandis que les fractions deviennent de plus en plus petites. La somme avance ainsi d’un côté puis de l’autre autour d’une même valeur.

Cette valeur est ln 2, soit environ 0,6931. Les termes eux-mêmes se rapprochent de 0 ; ce sont leurs additions successives, appelées sommes partielles, qui se rapprochent de ln 2.

Pour tout entier n au moins égal à 1, la suite semi-harmonique a pour n-ième terme $u_n=\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}u\_n=\backslash frac\{(-1)^\{n-1\}\}\{n\}$. Le facteur de signe vaut alternativement +1 et −1. La valeur absolue du terme est 1/n : elle décroît et tend vers 0. Ainsi, la suite des termes u_n converge vers 0.

La série semi-harmonique associée ne désigne pas un terme isolé, mais l’addition progressive de ces termes. Sa n-ième somme partielle, notée S_n, est définie par :La suite des nombres S_n converge vers ln 2.

Deux convergences différentes interviennent donc : u_n tend vers 0, tandis que S_n tend vers ln 2. Cette valeur s’identifie en évaluant en 1 le développement en série de ln(1 + x) : ses termes deviennent exactement 1, −1/2, 1/3, −1/4, et ainsi de suite. L’alternance des signes est décisive pour la série associée : sans elle, l’addition des nombres 1/n donne la série harmonique, qui diverge. Les six sommes calculées dans l’exemple illustrent cette approche sans constituer une preuve de la convergence.

La construction réunit quatre éléments. L’indice n choisit un rang entier à partir de 1. Le dénominateur n fixe la taille 1/n du terme. Le facteur (−1)ⁿ⁻¹ fixe son signe : positif aux rangs impairs, négatif aux rangs pairs. Enfin, la somme partielle S_n additionne tous les termes du premier au n-ième.

Le rang commande donc à la fois la taille et le signe de u_n. Chaque nouvelle somme S_n dépend de la précédente et du terme suivant : $S_n=S_{n-1}+u_{n}S\_n=S\_\{n-1\}+u\_n$ pour n au moins égal à 2. Ces données suffisent à calculer tous les termes et toutes les sommes partielles.

Calculons les six premières sommes partielles. Les données sont les rangs 1 à 6, les fractions 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 et 1/6, avec un signe positif au premier rang puis des signes alternés.

1. Partir de S₁ = 1.
2. Retrancher 1/2 : S₂ = 1/2.
3. Ajouter 1/3 : S₃ = 5/6.
4. Retrancher 1/4 : S₄ = 7/12.
5. Ajouter 1/5 : S₅ = 47/60.
6. Retrancher 1/6 : S₆ = 37/60.

Ainsi, S₆ = 37/60 ≈ 0,6167. Un contrôle consiste à reprendre chaque différence : S_n − S_n−1 doit être exactement le terme u_n. Un tracé des dix premières sommes partielles rend visible leur alternance autour de ln 2 ≈ 0,6931.

Pour calculer une approximation de ln 2, on additionne successivement 1, −1/2, 1/3, −1/4, et ainsi de suite. On choisit davantage de termes lorsqu’une approximation plus resserrée est nécessaire.

Pour étudier une suite donnée, on sépare d’abord deux questions. Si l’on observe u_n, la valeur visée est 0. Si l’on observe le total cumulé S_n, la valeur visée est ln 2.

Pour comparer avec la série harmonique, on regarde les signes. Lorsque tous les termes 1/n sont positifs, les sommes divergent. Avec l’alternance positive puis négative, les sommes semi-harmoniques convergent.

La suite des termes et la série associée. Le critère testable est la quantité observée. Le terme u_n vaut seulement (−1)ⁿ⁻¹/n et tend vers 0 ; la somme S_n cumule les n premiers termes et tend vers ln 2. Au rang 2, u₂ = −1/2 tandis que S₂ = 1/2.

La série semi-harmonique et la série harmonique. Leurs termes ont la même valeur absolue 1/n, mais leurs signes les séparent. Dans la série harmonique, tous sont positifs et les sommes divergent. Dans la série semi-harmonique, les signes alternent et les sommes convergent vers ln 2.

Commencer au rang 0. La formule contient 1/n : au rang 0, le dénominateur s’annule et le terme n’est pas défini. Il faut indexer cette suite à partir de n = 1.

Déduire la convergence d’une série de celle de ses termes. Le fait que u_n tende vers 0 ne suffit pas, à lui seul, à rendre une série convergente : les termes 1/n tendent aussi vers 0, alors que la série harmonique diverge. Il faut étudier les sommes partielles.

Prendre une somme partielle pour la limite. Au rang 6, S₆ = 37/60 ≈ 0,6167, et non ln 2. La valeur ln 2 est la limite obtenue lorsque le rang augmente ; chaque somme finie reste une approximation.

La série alternée replace l’alternance des signes dans une famille plus large et aide à reconnaître le mécanisme de convergence.

La série harmonique montre ce qui change lorsque les mêmes valeurs absolues 1/n sont toutes additionnées avec un signe positif.

La fonction logarithme népérien situe ln 2, la limite exacte des sommes partielles semi-harmoniques.