série de Grandi

Écrivez 1, retirez 1, ajoutez 1, puis recommencez. Le total affiché passe sans cesse de 1 à 0 : il ne se stabilise jamais. Voilà pourquoi la série de Grandi diverge au sens classique.

Une autre lecture observe la moyenne des totaux successifs. Cette moyenne se rapproche de 1/2. La valeur 1/2 décrit donc une sommation au sens de Cesàro, et non la limite ordinaire des totaux.

La série de Grandi additionne une infinité de termes alternés, 1 puis −1. L’indice entier n commence à 0, et le terme d’indice n vaut $(-1{)}^n(-1)^n$. La série s’écrit alors ${\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\backslash sum\_\{n=0\}^\{+\backslash infty\}(-1)^n$.

Pour tester la convergence classique, on examine la somme partielle S_N, obtenue en additionnant les termes d’indices 0 à N. Les valeurs sont successivement 1, 0, 1, 0, … Elles n’approchent aucune limite unique : la série diverge donc au sens classique.

La sommabilité de Cesàro applique un autre critère. On forme la moyenne C_N des N + 1 premières sommes partielles, de S₀ à S_N. Lorsque N grandit, C_N tend vers 1/2. On attribue ainsi 1/2 à la série au sens de Cesàro, sans affirmer que sa somme classique existe.

La structure repose sur quatre éléments. L’indice entier n, démarrant à 0, ordonne les termes. Le terme $(-1{)}^n(-1)^n$ impose l’alternance entre 1 et −1. La somme partielle S_N additionne les termes jusqu’à l’indice N ; elle dépend donc du rang choisi. Enfin, la moyenne de Cesàro C_N moyenne toutes les sommes partielles de S₀ à S_N.

L’alternance détermine l’oscillation des sommes partielles, puis cette oscillation détermine les moyennes. Ces données suffisent à trancher deux questions distinctes : la série ne converge pas classiquement, tandis que ses moyennes de Cesàro convergent vers 1/2. Un autre parenthésage ne change pas les termes, mais il ne constitue pas une opération légitime de sommation classique puisque la série diverge.

Prenons les huit termes d’indices 0 à 7 : 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1. Les seules données sont cet ordre, un total initialement nul et la règle qui moyenne les sommes partielles déjà obtenues.

1. Additionnez les termes l’un après l’autre. Les huit sommes partielles sont 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0.
2. Moyennez les sommes partielles après chaque nouveau terme. Les huit moyennes sont 1, 1/2, 2/3, 1/2, 3/5, 1/2, 4/7, 1/2.
3. Pour un nombre pair de termes, il y a autant de sommes partielles égales à 1 qu’à 0 : la moyenne vaut exactement 1/2.
4. Pour 2k + 1 termes, où k est un entier positif ou nul, la moyenne vaut $\frac{k+1}{2k+1}\backslash frac\{k+1\}\{2k+1\}$, valeur qui tend vers 1/2 lorsque k grandit.

Le contrôle est immédiat : les sommes partielles continuent d’osciller entre 0 et 1, mais leurs moyennes se resserrent autour de 1/2. Les valeurs 3/5 et 4/7 sont bien supérieures à 1/2, tandis que chaque rang impair de l’index donne exactement 1/2.

Pour décider si la série converge classiquement, calculez plusieurs sommes partielles. Leur alternance persistante entre 1 et 0 suffit à écarter une limite ordinaire ; une valeur isolée ne suffit pas.

Si la question porte explicitement sur Cesàro, moyennez ces sommes partielles. Les moyennes 1, 1/2, 2/3, 1/2, 3/5, … indiquent alors la valeur 1/2. Sans la mention de cette méthode, répondez que la série diverge.

Face à un parenthésage qui produit 0 ou 1, revenez aux sommes partielles dans leur ordre initial. Le désaccord entre les regroupements signale précisément qu’aucune somme classique ne peut être manipulée comme une somme finie.

La série et la suite de ses sommes partielles. La série est l’addition formelle des termes 1, −1, 1, −1, … ; la suite 1, 0, 1, 0, … enregistre les totaux successifs. C’est l’absence de limite de cette seconde suite qui établit la divergence classique.

Somme classique et valeur de Cesàro. Une somme classique exigerait que les sommes partielles tendent vers un même nombre. Ici, elles oscillent, alors que leurs moyennes tendent vers 1/2. Dire seulement « la série vaut 1/2 » efface donc le critère qui donne un sens précis à cette valeur.

Série de Grandi et série alternée en général. Alterner des signes ne suffit pas à identifier la série de Grandi. Il faut retrouver exactement les termes 1 et −1, de valeur absolue constante ; une autre suite de termes alternés est une autre série.

Le parenthésage n’est pas une preuve de somme. Regrouper les termes deux par deux donne 0 avec (1−1) + (1−1) + …, mais donne 1 avec 1 + (−1+1) + (−1+1) + … Le symptôme est l’obtention de résultats contradictoires. Il faut revenir à la définition par les sommes partielles.

La valeur 1/2 dépend du sens annoncé. Elle est la limite des moyennes de Cesàro, pas celle des sommes partielles. Si aucune méthode de sommation n’est précisée, la conclusion correcte reste : la série diverge au sens classique.

Le point de départ fixe le premier signe. Dans la définition donnée, l’indice commence à 0, donc le premier terme est 1. Commencer par −1 produirait les sommes partielles −1, 0, −1, 0, … et une moyenne de Cesàro égale à −1/2 : ce serait la série opposée, pas la série écrite ici.

La fiche série alternée situe l’alternance de signes dans une famille plus large et aide à reconnaître ce qui caractérise précisément la série de Grandi.

L’article Attribuer une valeur… à une série divergente ! prolonge la distinction entre divergence classique et attribution d’une valeur par une méthode de sommation.