moyenne de Cesàro

Prenons les nombres −1, 1, −1, 1, −1, 1. Au lieu de regarder seulement le dernier nombre, calculons à chaque étape la moyenne de tous ceux déjà rencontrés. On obtient successivement −1, 0, −1/3, 0, −1/5, 0.

Les nombres de départ continuent d'osciller entre −1 et 1, tandis que leurs moyennes cumulées se rapprochent de 0. La moyenne de Cesàro réalise ce lissage : elle remplace chaque terme par le bilan de tous les termes qui le précèdent, lui compris.

Soit une suite de nombres dont u_k désigne le terme d'indice k. Pour chaque entier n ≥ 1, sa n-ième moyenne de Cesàro, notée S_n, est la moyenne arithmétique de ses n premiers termes : $S_n=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{u}_{k}S\_n=\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash sum\_\{k=1\}^\{n\}u\_k$. La suite formée par tous les nombres S_n est la suite des moyennes de Cesàro.

Le lemme de Cesàro, aussi appelé théorème de Cesàro, affirme que si la suite des nombres u_n converge vers un nombre l, alors la suite des nombres S_n converge vers le même nombre l. Aucune hypothèse de monotonie n'est nécessaire. Ce résultat compare donc deux modes d'observation d'une même suite : ses termes isolés et leurs moyennes cumulées.

La réciproque est fausse. La convergence des nombres S_n n'oblige pas les nombres u_n à converger. Pour u_n = (−1)ⁿ, les termes alternent entre −1 et 1, mais S_n vaut 0 lorsque n est pair et −1/n lorsque n est impair ; les moyennes convergent donc vers 0.

Suivons les six premiers termes de la suite définie par u_n = (−1)ⁿ. Les données sont les indices n allant de 1 à 6 et les termes −1, 1, −1, 1, −1, 1. À chaque indice, S_n est la moyenne de tous les termes jusqu'à u_n.

1. Pour n = 1, la somme vaut −1, donc S₁ = −1/1 = −1.

2. Pour n = 2, la somme vaut −1 + 1 = 0, donc S₂ = 0/2 = 0.

3. En poursuivant le même calcul, les six moyennes sont : $S_1=-1,S_2=0,S_3=-\frac{1}{3},S_4=0,S_5=-\frac{1}{5},S_6=0S\_1=-1,\backslash quad\; S\_2=0,\backslash quad\; S\_3=-\backslash frac13,\backslash quad\; S\_4=0,\backslash quad\; S\_5=-\backslash frac15,\backslash quad\; S\_6=0$. La figure compare ces moyennes aux termes initiaux.

4. Plus généralement, les termes s'annulent par paires. Ainsi, S_n = 0 pour n pair, tandis que S_n = −1/n pour n impair. Ces deux valeurs possibles se rapprochent de 0 lorsque n augmente.

5. Le contrôle est immédiat au sixième rang : trois termes valent −1 et trois valent 1, donc leur somme est 0 et leur moyenne est bien 0. La suite initiale oscille toujours ; seule sa suite de moyennes converge vers 0.

Pour calculer une moyenne de Cesàro au rang n, additionnez exactement les n premiers termes, puis divisez par n. Une moyenne portant seulement sur les derniers termes répond à une autre question : elle ne constitue pas la moyenne de Cesàro définie ici.

Pour étudier une suite déjà convergente, le lemme de Cesàro transmet directement sa limite aux moyennes. Si les termes ne convergent pas, calculez séparément les moyennes : l'alternance entre −1 et 1 montre qu'elles peuvent tout de même se stabiliser.

Dans l'étude des séries de Fourier, les sommes partielles classiques peuvent ne pas converger. Examiner leurs moyennes de Cesàro fournit alors un autre mode de convergence. Il faut toutefois annoncer ce mode, car une convergence obtenue par moyennage n'est pas une convergence classique des sommes partielles.

Moyenne arithmétique et suite des moyennes de Cesàro. Une moyenne arithmétique résume une liste fixée par un seul nombre. La construction de Cesàro recommence ce calcul à chaque rang : pour −1, 1, −1, les moyennes successives sont −1, 0 et −1/3, et non la seule valeur −1/3.

Convergence classique et convergence des moyennes. La première exige que les termes u_n eux-mêmes approchent une limite ; la seconde porte sur les nombres S_n. La suite (−1)ⁿ tranche : elle diverge classiquement, alors que ses moyennes convergent vers 0.

Réciproque invalide. Observer que S_n converge ne permet pas de conclure que u_n converge. L'alternance persistante entre −1 et 1 en est le symptôme. Il faut examiner séparément les termes de la suite initiale.

Moyennage sans limite finie. Le procédé ne force pas toute suite divergente à acquérir une limite. Pour u_n = n, la moyenne vaut (n + 1)/2 et grandit sans borne. Calculez ou estimez donc S_n au lieu de supposer que le lissage suffit.

Premier indice différent. La formule donnée suppose une suite commençant à l'indice 1. Si elle commence à 0, la moyenne des termes u₀ à u_n contient n + 1 termes et son dénominateur est n + 1. Comptez les termes avant de diviser.

moyenne arithmétique — Revoir l'opération appliquée à chaque préfixe de la suite et le rôle du nombre de termes.

série de Fourier — Situer le cadre d'analyse où le moyennage de Cesàro pallie certaines absences de convergence classique.