GéométrieNotion · Glossaire
Cesàro Ernesto
Ernesto Cesàro est un mathématicien italien connu pour ses travaux en géométrie différentielle et en analyse, notamment sur les courbes fractales et la sommabilité. Une suite de nombres réels ou complexes converge au sens de Cesàro vers une limite finie si la suite des moyennes arithmétiques de ses n premiers termes converge vers cette limite. Cette méthode atténue les oscillations et peut dégager une valeur moyenne stable lorsque les termes eux-mêmes ne se stabilisent pas.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer les étapes attestées du parcours d'Ernesto Cesàro entre Liège, Paris, Palerme et Naples.
- Calculer les moyennes de Cesàro de la suite alternée 1, −1.
- Distinguer convergence ordinaire et convergence au sens de Cesàro.
- Relier Cesàro à la géométrie différentielle, aux courbes fractales et à la sommabilité.
En clair
En 1894, Ernesto Cesàro publie Lezioni di geometria intrinseca, un ouvrage consacré à l'étude des courbes. Ce mathématicien italien, né en 1859 dans la région de Naples, travaille aussi sur les suites et les séries.
Son idée la plus accessible consiste à regarder la moyenne des premiers termes d'une suite. Même si les termes continuent d'osciller, leurs moyennes peuvent se stabiliser. Cette façon d'élargir la notion de limite porte aujourd'hui son nom.
Définition
Ernesto Cesàro (1859-1906) est un mathématicien italien associé à deux domaines : la géométrie différentielle et l'analyse. Après des études à l'École des Mines de Liège auprès de Catalan et un séjour parisien durant lequel il rencontre Hermite et Darboux, il enseigne l'analyse algébrique à Palerme en 1886, puis à Naples en 1891.
En géométrie différentielle intrinsèque, son ouvrage Lezioni di geometria intrinseca, publié en 1894, étudie des courbes fractales obtenues par une construction itérative à angle constant : les courbes de Cesàro. Il s'intéresse également à la courbe de von Koch, qui est continue mais n'est dérivable en aucun point.
En analyse, son nom désigne notamment une forme de convergence. Pour une suite dont les termes sont notés s1, s2, …, on note σn la moyenne des n premiers termes. La définition complète est . Lorsque cette limite existe, la suite est Cesàro-convergente vers ℓ. Cette notion appartient aux travaux de Cesàro sur la sommabilité des suites et des séries divergentes ; son nom est aussi attaché à un lemme et à un théorème.
Un exemple, pas à pas
Prenons la suite alternée dont les six premiers termes sont 1, −1, 1, −1, 1, −1. Le rang est noté n et σn désigne la moyenne des n premiers termes.
1. Pour n = 1, la somme vaut 1, donc σ1 = 1.
2. Pour n = 2, 1 − 1 = 0, donc σ2 = 0.
3. Pour n = 3, 1 − 1 + 1 = 1, donc σ3 = 1/3.
4. Pour n = 4, la somme redevient 0, donc σ4 = 0.
5. On obtient ensuite σ5 = 1/5 et σ6 = 0.
2. Pour n = 2, 1 − 1 = 0, donc σ2 = 0.
3. Pour n = 3, 1 − 1 + 1 = 1, donc σ3 = 1/3.
4. Pour n = 4, la somme redevient 0, donc σ4 = 0.
5. On obtient ensuite σ5 = 1/5 et σ6 = 0.
À chaque rang pair, la moyenne vaut exactement 0. Au rang impair n, elle vaut 1/n. Les deux familles de valeurs tendent vers 0 : la moyenne se stabilise donc en 0, alors que les termes de départ restent alternativement égaux à 1 et −1. Pour contrôler le calcul, il suffit de vérifier que chaque paire 1, −1 ajoute une somme nulle.
En pratique
Pour étudier une suite qui oscille, on calcule les moyennes successives de ses premiers termes. Si ces moyennes se rapprochent d'une même valeur, la convergence au sens de Cesàro décrit une stabilisation que la suite initiale ne montre pas.
Si les termes eux-mêmes possèdent déjà une limite ordinaire, cette limite suffit. La moyenne de Cesàro devient surtout informative lorsque la convergence ordinaire échoue, comme pour l'alternance 1, −1.
Dans l'œuvre géométrique de Cesàro, le geste est différent : on suit une construction itérative à angle constant pour obtenir une courbe fractale. Il faut alors observer les étapes de la courbe, et non moyenner une liste de nombres.
À ne pas confondre
La convergence ordinaire porte sur les termes sn eux-mêmes ; la convergence au sens de Cesàro porte sur leurs moyennes σn. Dans l'exemple alterné, sn reste égal à 1 ou −1, tandis que σn tend vers 0.
La courbe de Cesàro et la courbe de von Koch sont deux courbes fractales distinctes. La source associe la première à une construction itérative à angle constant et précise seulement que Cesàro s'est aussi intéressé à la seconde.
Enfin, le lemme de Cesàro, le théorème de Cesàro et la sommation de Cesàro ne sont pas trois noms interchangeables. Ils désignent des résultats ou une notion différents auxquels le même mathématicien a donné son nom.
Limites et pièges
Une moyenne qui converge ne force pas les termes de départ à converger. L'alternance 1, −1 en donne le cas charnière : les moyennes tendent vers 0, mais la valeur absolue de la différence entre deux termes consécutifs reste égale à 2. Il faut donc annoncer explicitement que la limite est prise au sens de Cesàro.
La méthode n'attribue pas une valeur à toute suite divergente. Pour la suite 1, 2, 3, …, la moyenne des n premiers termes vaut (n + 1)/2 et croît sans borne. Le bon constat est alors l'absence de limite finie des moyennes.
Une construction itérative n'est pas automatiquement une courbe de Cesàro. Le critère donné par la source est l'usage d'un angle constant ; sans la règle exacte de construction, le nom d'une fractale ne peut pas être déduit de sa seule apparence.
Pour aller plus loin
Le parcours de Cesàro relie deux idées d'itération. En analyse, on forme une nouvelle suite à partir des moyennes successives ; en géométrie, on répète une règle de construction à angle constant. Dans les deux cas, l'objet obtenu au fil des étapes révèle un comportement que l'observation d'un seul terme ou d'un seul segment ne suffit pas à décrire.
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