von Koch Helge

En 1906, Helge von Koch, mathématicien suédois formé puis enseignant à Stockholm, publie un article consacré aux courbes planes. La courbe qui porte son nom naît d'un geste répété : chaque segment est remplacé par quatre segments plus courts formant une pointe.

À chaque répétition, le contour se couvre de nouveaux détails. Sa longueur augmente sans limite, alors que la région enfermée par le flocon conserve une aire finie. La limite obtenue reste continue, mais elle ne possède de tangente en aucun point.

Helge von Koch (1870-1924) est un mathématicien suédois formé à l'université de Stockholm auprès de Mittag-Leffler, avant d'y enseigner. Il est surtout associé à la courbe de Koch, présentée dans un article de 1906 sur les courbes planes. Le flocon de Koch s'obtient en appliquant cette construction aux trois côtés d'un triangle équilatéral, puis en répétant indéfiniment la même règle sur chaque segment créé.

Si le rang de construction est noté n, le contour compte $N_n=3\times 4^{n}N\_n=3\backslash times4^n$ segments, chacun de longueur égale à un côté initial divisé par 3ⁿ. Son périmètre est donc multiplié par 4/3 à chaque rang. Dans la limite, le contour est continu partout et dérivable nulle part : aucun agrandissement ne fait apparaître une tangente stable. Son périmètre devient infini, tandis que l'aire enfermée converge vers une valeur finie.

Von Koch travaille aussi en théorie des nombres. Il publie Sur la distribution des nombres premiers en 1901, puis Contribution à la théorie des nombres premiers en 1910. En 1901, il établit que l'hypothèse de Riemann équivaut à une forme renforcée du théorème des nombres premiers. Ce résultat arithmétique est distinct de sa construction fractale.

Partons d'un triangle équilatéral dont chaque côté mesure 1 unité. Au rang initial n = 0, il possède 3 segments, un périmètre de 3 unités et une aire de √3/4 unité carrée.

1. Remplaçons chaque segment par quatre segments mesurant chacun le tiers du précédent. La figure montre cette règle sur un côté : la pointe ajoutée est équilatérale.

2. Au rang n = 1, le contour compte 3 × 4 = 12 segments de longueur 1/3. Son périmètre vaut 12 × 1/3 = 4 unités. Les trois triangles ajoutés portent l'aire totale à √3/3 unité carrée.

3. Au rang n = 2, le contour compte 12 × 4 = 48 segments de longueur 1/9. Son périmètre vaut 48 × 1/9 = 16/3 unités, soit environ 5,33 unités.

4. Après n répétitions, le périmètre P_n et l'aire limite A_∞ vérifient les relations suivantes : $P_n=3{\left(\frac{4}{3}\right)}^{n}P\_n=3\backslash left(\backslash frac\{4\}\{3\}\backslash right)^n$ et $A_{\mathrm{\infty }}=\frac{2\sqrt{3}}{5}A\_\{\backslash infty\}=\backslash frac\{2\backslash sqrt\{3\}\}\{5\}$.

Le contrôle est refaisable : le facteur 4/3, supérieur à 1, fait diverger P_n. Les aires ajoutées forment au contraire une somme de raison 4/9, inférieure à 1, donc leur total converge.

Pour découvrir une construction itérative, on dessine deux ou trois rangs du flocon et l'on compte les segments. Si l'objectif est de mesurer un contour lisse, cette construction n'est pas le bon modèle : les angles se multiplient à chaque rang.

Pour distinguer longueur et aire, on suit séparément le périmètre et les triangles ajoutés. Le flocon est préférable à une figure polygonale fixe lorsque l'on veut montrer qu'un contour peut devenir infini sans que l'aire enfermée le devienne.

Pour situer les travaux de von Koch, on sépare ses deux domaines. La construction de 1906 relève de l'analyse des courbes ; ses publications de 1901 et 1910 relèvent de la théorie des nombres.

La courbe de Koch et le flocon de Koch ne désignent pas exactement le même objet. La première part d'un segment ; le second ferme trois courbes de Koch construites sur les côtés d'un triangle équilatéral. Le critère décisif est donc la présence d'un contour fermé qui délimite une aire.

L'hypothèse de Riemann n'est pas le théorème des nombres premiers. Le théorème donne le comportement asymptotique de la répartition des nombres premiers ; l'hypothèse impose une condition plus fine liée aux zéros de la fonction zêta. Le résultat de von Koch porte sur l'équivalence avec une forme renforcée du théorème.

Un dessin obtenu après un nombre fini de répétitions n'a pas encore un périmètre infini. Au rang n, il reste un polygone de périmètre 3(4/3)ⁿ. Il faut distinguer chaque approximation finie de la courbe limite.

L'aire finie concerne le flocon fermé, pas une courbe de Koch construite sur un seul segment. Une courbe ouverte ne délimite pas à elle seule la région dont l'aire vaut 2√3/5 pour un côté initial de longueur 1.

La non-dérivabilité en tout point appartient à la courbe limite. Chaque approximation finie est formée de segments droits, mais les sommets empêchent déjà d'y définir une tangente unique partout. Il ne faut donc pas attribuer à un rang fini la propriété exacte de la limite.

La dimension fractale donne un outil pour quantifier la complexité d'une courbe dont les détails réapparaissent à plusieurs échelles.

hypothèse de Riemann précise l'énoncé arithmétique auquel von Koch a relié une estimation renforcée sur les nombres premiers.

L'inépuisable théorème des nombres premiers prolonge l'autre versant de ses travaux, consacré à la distribution des nombres premiers.