ArithmétiqueNotion · Glossaire
Dimension métrique
La dimension métrique (ou dimension de Hausdorff) d'un espace métrique est une valeur non négative, éventuellement infinie, qui généralise la notion intuitive de dimension aux ensembles fractals. Elle est définie comme la valeur critique de l'exposant s pour lequel la mesure de Hausdorff de l'ensemble passe de l'infini à zéro. Pour les variétés régulières, elle coïncide avec la dimension topologique, mais pour des ensembles fractals comme le flocon de Koch, elle prend des valeurs non entières.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier une dimension non entière au changement de détail avec l'échelle.
- Lire la définition par les mesures de Hausdorff d'ordre s.
- Refaire le calcul ln(2)/ln(3) pour l'ensemble de Cantor.
- Distinguer dimension de Hausdorff, dimension topologique et dimension de boîte.
- Repérer les cas où le seuil critique ou le mot flocon demandent une précision.
En clair
Prenons un segment et retirons son tiers central. Recommençons sur chacun des deux morceaux, puis indéfiniment : on obtient l'ensemble de Cantor. À chaque étape, les morceaux deviennent trois fois plus petits, mais leur nombre double.
Une ligne ordinaire a une dimension 1 et un ensemble de points isolés une dimension 0. L'ensemble de Cantor se situe entre les deux : sa dimension métrique vaut environ 0,631. Ce nombre décrit la manière dont le détail se multiplie lorsque l'échelle diminue.
Définition
La dimension métrique, appelée ici dimension de Hausdorff, s'applique à une partie E d'un espace muni d'une distance. Pour un exposant réel s supérieur ou égal à 0, on recouvre E par des ensembles Ui dont le diamètre ne dépasse pas une précision δ. On considère la borne inférieure de la somme des diamètres élevés à la puissance s, puis on fait tendre δ vers 0. La limite obtenue est la mesure de Hausdorff d'ordre s, notée par le nœud suivant.
Pour E non vide, la dimension de Hausdorff est la valeur critique de s : au-dessous, cette mesure est infinie ; au-dessus, elle est nulle. Elle s'écrit . À la valeur critique elle-même, la mesure peut être nulle, finie non nulle ou infinie. La dimension est donc non négative et peut aussi être infinie. Pour une variété riemannienne régulière de dimension n, elle vaut n et rejoint la dimension topologique. Pour certains ensembles fractals, elle n'est pas entière.
Un exemple, pas à pas
L'ensemble de Cantor est construit à partir d'un segment de longueur 1. À l'étape n, il reste 2n segments, chacun de longueur 3−n. La construction rend visibles ces deux données à chaque changement d'échelle.
1. Choisir un exposant s et couvrir l'étape n par ses 2n segments. La somme des puissances s de leurs diamètres vaut .
2. Chercher le seuil où cette somme ne tend ni vers 0 ni vers l'infini. Il faut que le rapport 2/3s soit égal à 1, donc que 3s soit égal à 2.
3. Résoudre cette égalité donne . Ce recouvrement donne le majorant ; la séparation des deux copies fournit le minorant correspondant. La dimension métrique de l'ensemble de Cantor est donc exactement ln(2)/ln(3), soit environ 0,631.
4. Contrôler à l'étape 4 : les 16 segments ont chacun une longueur de 1/81. Pour la valeur exacte de s, la somme 16 × (1/81)s vaut 1, car 81s vaut 16.
En pratique
Pour une fractale exactement auto-similaire dont les copies satisfont une condition de séparation appropriée, par exemple la condition d'ensemble ouvert, on compare le nombre de copies à leur facteur de réduction. L'ensemble de Cantor fournit le geste type : compter deux copies trois fois plus petites, puis résoudre le seuil correspondant.
Pour un ensemble irrégulier décrit par une distance, la définition de Hausdorff est la référence : on autorise des recouvrements de tailles variées. Si les données sont seulement observées sur une grille à plusieurs résolutions, la dimension de boîte est plus directement estimable, mais elle ne doit pas être annoncée automatiquement comme une dimension de Hausdorff.
Pour une courbe ou une surface régulière, le calcul fractal n'apporte généralement pas un nouvel entier : la dimension de Hausdorff retrouve respectivement 1 ou 2. Une valeur non entière signale donc un changement de loi d'échelle, pas un dessin placé entre deux espaces ordinaires.
À ne pas confondre
Dimension topologique. Elle décrit la structure topologique et prend des valeurs entières, tandis que la dimension de Hausdorff dépend aussi de la distance. L'ensemble de Cantor tranche : sa dimension topologique vaut 0, mais sa dimension de Hausdorff vaut ln(2)/ln(3). Sur une variété riemannienne régulière de dimension n, les deux valent n.
Dimension de boîte. Elle observe la croissance du nombre de boîtes de même taille nécessaires à un recouvrement. Lorsque la limite correspondante existe, on parle de la dimension de boîte ; sinon, on distingue les dimensions de boîte inférieure et supérieure. La dimension de Hausdorff autorise des tailles variées et optimise leurs diamètres. Pour l'ensemble de Cantor, ces dimensions donnent toutes ln(2)/ln(3), mais cette coïncidence n'est pas une règle pour tout ensemble.
Limites et pièges
Au seuil critique. Dire que la mesure « passe de l'infini à zéro » décrit ce qui se produit de part et d'autre de la dimension. À la dimension elle-même, la mesure de Hausdorff peut être nulle, finie non nulle ou infinie ; il ne faut donc pas imposer une valeur universelle au seuil.
Dimension nulle ou infinie. La dimension de Hausdorff n'est pas toujours strictement positive ni finie. Un point isolé fournit le cas charnière 0. Il faut parler d'une valeur non négative, éventuellement infinie, plutôt que d'un réel positif dans tous les cas.
Le mot « flocon ». La frontière du flocon de Koch est une courbe fractale de dimension ln(4)/ln(3), environ 1,262. La région remplie qu'elle borde a, elle, dimension 2. Il faut préciser si l'on mesure le contour ou toute la surface.
Une estimation par grille. Une pente observée sur quelques résolutions renseigne d'abord une dimension de boîte estimée. Sans hypothèse assurant l'accord des définitions et sans régime d'échelle stable, elle ne suffit pas à établir la dimension de Hausdorff.
Pour aller plus loin
La fiche dimension de Hausdorff approfondit la mesure critique qui fonde la notion.
L'ensemble de Cantor permet de reprendre la construction auto-similaire utilisée ici et d'en étudier les propriétés propres.
Le flocon de von Koch offre un second exemple où la dimension non entière concerne une courbe plutôt qu'un ensemble dispersé.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres