Auto-similaire

Prenez un segment et retirez son tiers central. Chacun des deux morceaux restants est une copie réduite du segment de départ. Recommencez sur chaque morceau : le même dessin réapparaît à une échelle trois fois plus petite. Cette ressemblance entre une partie et le tout est l'auto-similarité. Elle est exacte dans cette construction de l'ensemble de Cantor. Elle peut aussi être statistique : les détails changent, mais leur répartition garde les mêmes caractéristiques quand l'échelle change.

Un objet mathématique est auto-similaire lorsqu'une ou plusieurs de ses parties reproduisent la structure de l'objet entier après un changement d'échelle. Un modèle précis courant du cas exact décrit l'objet A comme la réunion d'images réduites de lui-même. Si S₁, …, S_N désignent ces similitudes contractantes, la relation s'écrit :

Le facteur de contraction indique de combien chaque copie est réduite. Lorsque les N copies ont toutes le même facteur r, la dimension d'auto-similarité, notée D, vérifie N r^D = 1, donc $D=\frac{\ln N}{\ln (1\mathrm{/}r)}D=\backslash frac\{\backslash ln\; N\}\{\backslash ln(1/r)\}$. Pour des facteurs différents r_i, elle est définie par ${\sum }_{i=1}^N{r}_i^D=1\backslash sum\_\{i=1\}^\{N\}\; r\_i^D=1$. Sous des conditions de séparation appropriées, cette valeur coïncide avec une dimension fractale de l'objet. Dans l'auto-similarité statistique, ce ne sont pas des copies géométriques identiques : ce sont des propriétés de leur distribution qui restent comparables d'une échelle à l'autre.

Construisons les premières étapes de l'ensemble de Cantor. Les données sont un segment initial de longueur 1, deux copies conservées à chaque étape et un facteur de contraction égal à 1/3.

1. Retirez le tiers central du segment. Il reste 2 segments, chacun de longueur 1/3 ; leur longueur totale vaut 2/3.

2. Retirez le tiers central de chacun des 2 segments. Il reste 4 segments de longueur 1/9, pour une longueur totale de 4/9.

3. Une nouvelle répétition donne 8 segments de longueur 1/27, pour une longueur totale de 8/27. La figure rend visibles ces trois réductions successives.

4. La dimension d'auto-similarité D satisfait 2 × (1/3)^D = 1. Ainsi, $D=\frac{\ln 2}{\ln 3}\approx \mathrm{0,6309}D=\backslash frac\{\backslash ln\; 2\}\{\backslash ln\; 3\}\backslash approx\; 0\{,\}6309$. Pour contrôler les comptes, chaque étape double le nombre de segments et divise leur longueur individuelle par 3.

Dans une construction comme l'ensemble de Cantor, on repère une règle répétée, puis on compare un morceau au tout. Si le morceau s'obtient par une similitude précise, l'auto-similarité exacte est le bon cadre.

Pour le flocon de Koch ou le triangle de Sierpinski, on compte les copies et on mesure leur facteur de réduction. Ces deux données donnent accès à la dimension d'auto-similarité lorsque les copies satisfont les conditions de séparation requises.

Si les morceaux ne coïncident pas exactement avec le tout, la comparaison géométrique stricte ne convient pas. On examine alors si des caractéristiques statistiques restent stables entre plusieurs échelles ; c'est le critère d'une auto-similarité statistique.

Auto-similarité et similitude. Une similitude compare deux objets en conservant leur forme à un facteur d'échelle près. L'auto-similarité exige en plus que les objets comparés soient une partie et le tout. Deux triangles de tailles différentes peuvent donc être semblables sans former un objet auto-similaire.

Auto-similarité et fractale. Les fractales fournissent des exemples majeurs d'auto-similarité, mais les deux termes ne sont pas synonymes. Un segment contient des sous-segments qui lui sont semblables, sans que cette observation suffise à en faire une fractale au sens usuel.

Dimension d'auto-similarité et dimension fractale. Le calcul fondé sur le nombre et l'échelle des copies donne une dimension d'auto-similarité. Son identification à une dimension fractale demande des hypothèses de séparation ; des copies qui se chevauchent peuvent faire échouer l'identification.

Ressemblance seulement visuelle. Un motif qui évoque le tout ne prouve pas une auto-similarité exacte. Il faut exhiber la similitude, son facteur de contraction et la partie qu'elle produit ; sinon, il convient de parler de ressemblance.

Copies qui se chevauchent. La formule fondée sur les facteurs de contraction définit encore un exposant de similarité, mais le chevauchement peut empêcher qu'il mesure la dimension fractale de l'ensemble. Il faut alors étudier les recouvrements au lieu d'appliquer automatiquement la formule.

Image finie d'une construction. Voir trois étapes ne prouve pas à lui seul que la règle continue indéfiniment. Dans l'exemple de Cantor, c'est la règle qui retire le tiers central à chaque étape, avec le facteur 1/3, qui définit la structure limite.

Statistique ne signifie pas identique. Dans une auto-similarité statistique, deux détails particuliers peuvent différer. Le contrôle doit porter sur une distribution choisie et sur plusieurs échelles, non sur la coïncidence point par point.

Ensemble de Cantor — Suivez en détail la construction qui fournit l'exemple conducteur de cette fiche.

Triangle de Sierpinski — Observez une auto-similarité exacte dans une construction plane.

Flocon de von Koch — Comparez une autre règle itérative fondée sur des copies réduites.

Dimension fractale — Approfondissez la mesure de complexité associée aux changements d'échelle.

Fractale déterministe — Reliez l'auto-similarité exacte à une règle de construction sans hasard.