AnalyseObjet géométrique · Glossaire
triangle de Sierpinski
Le triangle de Sierpinski, également désigné tamis de Sierpinski (d'après le mathématicien polonais Waclaw Sierpinski, 1882–1969), est une figure fractale en deux dimensions étudiée par Sierpinski en 1915. Sa construction itérative part d'un triangle équilatéral : on le divise en quatre triangles égaux et on retire le triangle central. On répète indéfiniment ce procédé sur chacun des triangles restants. La dimension fractale de cette figure, appelée dimension de Hausdorff, vaut ln 3 / ln 2 ≈ 1,585. Le triangle de Sierpinski peut être interprété comme l'attracteur du système de fonctions itérées (IFS) composé de trois homothéties de rapport 1/2 dont les centres sont les trois sommets du triangle équilatéral de départ. Il constitue également la limite d'une suite de courbes continues dites courbes du triangle de Sierpinski.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reproduire trois étapes à partir d'un triangle équilatéral de côté 8 unités.
- Calculer le nombre et le côté des triangles conservés à chaque étape.
- Relier les trois homothéties de rapport 1/2 à la dimension ln 3 / ln 2.
- Distinguer une approximation finie de la figure limite.
En clair
Prenez un triangle équilatéral. Partagez-le en quatre petits triangles identiques, puis enlevez celui du centre. Trois triangles subsistent, avec un vide entre eux. Recommencez exactement le même geste dans chacun d'eux : de nouveaux trous apparaissent à une échelle deux fois plus petite.
En poursuivant sans fin, on obtient le triangle de Sierpinski, aussi appelé tamis de Sierpinski. Le motif entier se retrouve ainsi dans chacune de ses trois grandes parties.
Définition
Le triangle de Sierpinski est une figure fractale plane construite à partir d'un triangle équilatéral. À chaque étape, tout triangle conservé est partagé en quatre triangles égaux, puis son triangle central est retiré. Le procédé est répété indéfiniment sur les trois triangles restants. La figure limite porte aussi le nom de tamis de Sierpinski.
Une autre définition utilise un système de fonctions itérées, abrégé IFS. Il comprend trois homothéties de rapport 1/2, centrées aux trois sommets du triangle initial. La figure est l'attracteur de ce système : appliquer ensemble les trois réductions reproduit ses trois grandes copies.
Sa dimension de Hausdorff est le nombre d tel que trois copies réduites de moitié reconstituent la figure : . On obtient . La figure est également la limite d'une suite de courbes continues appelées courbes du triangle de Sierpinski.
De quoi c'est fait
La construction repose sur quatre éléments. Le triangle équilatéral initial fixe la forme d'ensemble. La subdivision crée quatre triangles égaux. Le retrait du triangle central laisse trois copies placées aux sommets. Enfin, l'itération applique la même subdivision et le même retrait à chaque copie conservée.
Le rapport 1/2 relie deux étapes successives : chaque nouveau triangle a un côté deux fois plus petit que celui qui le contient. Le nombre de copies est, lui, multiplié par trois. Ces deux dépendances déterminent la dimension ln 3 / ln 2. L'orientation, la couleur et la taille du dessin ne définissent pas la figure ; la règle de réduction et le placement aux trois sommets, si.
Un exemple, pas à pas
Construisons trois étapes à partir d'un triangle équilatéral.
Données :
Le côté initial mesure 8 unités.
Chaque subdivision divise le côté par 2.
Chaque triangle traité laisse 3 triangles.
On effectue 3 étapes.
Données :
Le côté initial mesure 8 unités.
Chaque subdivision divise le côté par 2.
Chaque triangle traité laisse 3 triangles.
On effectue 3 étapes.
1. Après la première étape, il reste 3 triangles de côté 8 ÷ 2 = 4 unités.
2. Après la deuxième étape, chacun des 3 triangles en produit 3 : il en reste 3 × 3 = 9, de côté 4 ÷ 2 = 2 unités.
3. Après la troisième étape, il reste 9 × 3 = 27 triangles, de côté 2 ÷ 2 = 1 unité.
Pour une étape numérotée n, le nombre de triangles conservés est 3n et leur côté vaut 8/2n unités. Le contrôle pour n = 3 redonne 33 = 27 et 8/23 = 1.
La succession des quatre dessins rend visibles ces deux évolutions simultanées : trois fois plus de triangles, chacun deux fois plus petit, à chaque étape.
En pratique
Pour dessiner une approximation, on choisit un nombre fini d'étapes et on répète la subdivision suivie du retrait central. Une construction itérative explicite est préférable lorsque l'on veut voir chaque génération apparaître.
Pour produire directement les trois copies d'une étape, on peut appliquer les trois homothéties de rapport 1/2 centrées aux sommets. Cette écriture par IFS est préférable lorsque la règle de transformation importe davantage que l'ordre des retraits.
Pour relier le nombre de copies à leur échelle, on utilise la dimension de Hausdorff. Le calcul ln 3 / ln 2 est alors plus informatif qu'une simple dimension entière, car il combine les trois copies et la réduction de moitié.
À ne pas confondre
Triangle de Sierpinski et fractale déterministe. Une fractale déterministe est une catégorie définie par une règle sans hasard ; le triangle de Sierpinski en est une figure particulière. La règle des trois réductions de rapport 1/2 placées aux trois sommets du triangle initial identifie ce cas précis.
Limites et pièges
Une image finie n'est qu'une approximation. Après trois étapes, l'exemple montre 27 triangles de côté 1 unité, mais le procédé n'est pas terminé. Il faut distinguer cette étape calculable de la figure limite, obtenue par une répétition indéfinie.
Le rapport doit rester 1/2. Si les trois copies ne sont pas réduites de moitié ou ne sont pas centrées aux trois sommets, l'IFS décrit une autre figure. Il faut vérifier le nombre de transformations, leur rapport et leurs centres.
La dimension 1,585 n'est pas une mesure du côté. Elle décrit le changement du nombre de copies avec l'échelle. Il faut la lire comme une dimension fractale, et non comme une longueur exprimée en unités.
Pour aller plus loin
dimension de Hausdorff précise le sens de la valeur ln 3 / ln 2 associée au changement d'échelle de la figure.
fractale déterministe replace la règle du triangle de Sierpinski dans la famille des constructions sans hasard.
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