ensemble de Sierpinski

Prenez un triangle plein. Partagez-le en quatre triangles identiques, retirez celui du centre, puis recommencez dans chacun des trois triangles restants. Des trous toujours plus petits apparaissent, tandis que chaque morceau reproduit la forme de l'ensemble. Cette répétition à toutes les échelles est l'autosimilarité. Avec un carré partagé en neuf et privé de son centre, le même geste produit le tapis de Sierpinski.

Un ensemble de Sierpinski est la limite d'une construction itérative par subdivisions et suppressions. Pour le triangle, on part d'un triangle équilatéral plein. Chaque triangle conservé est partagé en quatre triangles équilatéraux congruents, puis le triangle central est supprimé. Pour le tapis, on part d'un carré plein. Chaque carré conservé est partagé en neuf sous-carrés congruents, puis le sous-carré central est supprimé.

Après un nombre fini d'itérations, on n'obtient qu'une approximation. L'ensemble de Sierpinski proprement dit correspond aux points qui ne sont supprimés à aucune étape. Il est autosimilaire : le triangle limite réunit trois copies de lui-même réduites d'un facteur 2, et le tapis limite en réunit huit réduites d'un facteur 3.

La dimension de Hausdorff du triangle vaut $\frac{\log 3}{\log 2}\backslash frac\{\backslash log\; 3\}\{\backslash log\; 2\}$, et celle du tapis vaut $\frac{\log 8}{\log 3}\backslash frac\{\backslash log\; 8\}\{\backslash log\; 3\}$. Ces valeurs non entières traduisent une structure plus riche qu'une courbe ordinaire, sans remplir une région du plan.

La construction comporte quatre éléments. La figure initiale fixe le cadre : triangle équilatéral ou carré. La subdivision produit respectivement quatre triangles ou neuf carrés congruents. La règle de suppression enlève le morceau central. L'itération applique ensuite cette même paire d'opérations à chaque morceau conservé.

La subdivision détermine l'échelle des sous-morceaux et, combinée à la suppression, le nombre de copies conservées : trois copies à l'échelle 1/2 pour le triangle, huit à l'échelle 1/3 pour le tapis. Répéter la règle indéfiniment définit l'ensemble limite. Son orientation, sa taille ou ses couleurs de dessin peuvent changer sans modifier cette structure. Ces données suffisent à construire toute approximation finie et à calculer le nombre de morceaux, leurs facteurs de taille et la proportion d'aire totale ; les tailles et aires absolues exigent les dimensions initiales.

On construit les deux premières itérations d'un triangle de Sierpinski. Données : le triangle initial a un côté de 9 unités ; chaque subdivision divise un côté par 2 ; chaque triangle conservé donne trois triangles ; on effectue deux itérations.

1. Après la première itération, il reste 3 triangles, chacun de côté 9 ÷ 2 = 4,5 unités.
2. Après la deuxième, chacun de ces 3 triangles en donne 3 : il reste donc 3 × 3 = 9 triangles.
3. Leur côté vaut 4,5 ÷ 2 = 2,25 unités.
4. À chaque itération, les trois quarts de l'aire sont conservés. Après deux itérations, la proportion restante vaut (3/4)² = 9/16.

Le résultat est donc une approximation formée de 9 triangles de côté 2,25 unités et couvrant 9/16 de l'aire initiale. Le dessin des étapes 0, 1 et 2 permet de contrôler les décomptes : 1, puis 3, puis 9 triangles jaunes.

Pour dessiner une approximation à la main, on choisit d'abord le triangle lorsque l'on veut suivre une division par 2. On s'arrête dès que les plus petits triangles deviennent difficiles à tracer proprement.

Le tapis est préférable lorsque le support est quadrillé : chaque côté se partage en trois segments égaux, et le carré central se repère sans construire de diagonales.

Pour vérifier une construction, on compte les morceaux après chaque étape. Le triangle doit suivre 1, 3, 9, 27… morceaux conservés ; le tapis suit 1, 8, 64, 512… Une autre suite signale qu'une suppression ou une subdivision a été oubliée.

Triangle et tapis de Sierpinski. Le triangle part de quatre sous-triangles et en conserve trois ; le tapis part de neuf sous-carrés et en conserve huit. Une première étape comportant un trou triangulaire central identifie le triangle, tandis qu'un trou carré central identifie le tapis.

Ensemble de Sierpinski et objet fractal. Un objet fractal est une catégorie générale. Un ensemble de Sierpinski suit l'une des règles précises de subdivision et de suppression décrites ici. Une forme simplement irrégulière ou répétitive n'est donc pas, pour cette seule raison, un ensemble de Sierpinski.

Une étape finie n'est pas l'ensemble limite. Après deux itérations, le triangle de l'exemple possède encore 9 régions pleines. Il s'agit d'une approximation ; l'ensemble de Sierpinski exige que la règle soit poursuivie sans fin.

L'aire restante tend vers zéro. Pour le triangle, la proportion d'aire après le nombre d'itérations noté n est (3/4)ⁿ. Pour le tapis, elle est (8/9)ⁿ. Ces deux proportions tendent vers zéro lorsque n augmente indéfiniment, mais cela ne signifie pas que l'ensemble limite est vide.

Une ressemblance à quelques échelles ne suffit pas. Dans une approximation finie, le motif cesse de se répéter au dernier niveau tracé. L'autosimilarité exacte de l'ensemble mathématique concerne la construction limite, pas les contraintes matérielles d'un dessin.

Triangle de Sierpinski — Approfondir la variante triangulaire, ses subdivisions et la répétition de ses trois copies réduites.

Tapis de Sierpinski — Examiner la variante carrée et ses huit copies obtenues à chaque itération.

Dimension de Hausdorff — Relier les facteurs d'échelle aux dimensions non entières du triangle et du tapis.

Objet fractal — Situer les ensembles de Sierpinski dans la famille plus large des structures fractales.