hexagone de Sierpinski

Prenez un hexagone régulier et placez une copie trois fois plus petite à chacun de ses six sommets. Effacez tout le reste. Recommencez ensuite le même geste dans chaque copie conservée : six nouveaux hexagones apparaissent à une échelle encore divisée par trois.

La figure devient de plus en plus ajourée, mais le même motif revient à chaque grossissement. L’hexagone de Sierpinski est la figure idéale obtenue lorsque cette répétition se poursuit sans fin.

L’hexagone de Sierpinski est une fractale plane auto-similaire. On part d’un hexagone régulier. Pour chacun de ses six sommets, une homothétie centrée sur ce sommet et de rapport 1/3 produit une copie réduite. Le même système de six transformations est ensuite appliqué à chaque copie. L’attracteur est l’ensemble limite qui reste invariant sous leur réunion.

Chaque itération multiplie le nombre de copies par 6 et divise leur longueur de côté par 3. Si la lettre d désigne la dimension d’auto-similarité, elle satisfait $6{\left(\frac{1}{3}\right)}^d=16\backslash left(\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)^d=1$. Les six copies n’ayant pas de recouvrement intérieur, cette dimension d’auto-similarité est aussi la dimension de Hausdorff de l’attracteur.

On obtient donc $d=\frac{\ln 6}{\ln 3}=1+\frac{\ln 2}{\ln 3}\approx \mathrm{1,631}d=\backslash frac\{\backslash ln\; 6\}\{\backslash ln\; 3\}=1+\backslash frac\{\backslash ln\; 2\}\{\backslash ln\; 3\}\backslash approx\; 1\{,\}631$. Cette valeur est comprise entre 1 et 2 : la figure est plus complexe qu’une courbe, sans remplir une région du plan.

On construit les deux premières étapes à partir d’un hexagone régulier de côté 9 cm. Les données sont le facteur de réduction 1/3 et les six sommets qui servent de centres d’homothétie.

1. À la première itération, on conserve 6 hexagones. Chacun a pour côté 9 × 1/3 = 3 cm.

2. À la deuxième itération, chaque copie en engendre 6 : il y en a 6 × 6 = 36. Leur côté mesure 3 × 1/3 = 1 cm.

3. Après un nombre n d’itérations, le contrôle général donne $N_n=6^{n}N\_n=6^n$ copies de côté $c_n=\frac{9}{3^n}\mathrm{c}\mathrm{m}c\_n=\backslash frac\{9\}\{3^n\}\backslash ,\backslash mathrm\{cm\}$. Pour n = 2, ces formules redonnent bien 36 copies de 1 cm. La figure permet de contrôler visuellement ces deux comptages.

Pour dessiner une approximation, on choisit d’abord un nombre fini d’itérations. Deux étapes suffisent pour voir le motif ; on en ajoute seulement si les plus petits hexagones restent lisibles à l’échelle du dessin.

Pour contrôler une construction, on compte les copies et on mesure un côté. Le passage d’une étape à la suivante doit multiplier le compte par 6 et diviser la longueur par 3. Si un seul de ces tests échoue, il faut corriger l’itération avant de poursuivre.

Pour déterminer la dimension, le comptage des copies est préférable à une estimation visuelle. L’aspect ajouré peut tromper l’œil, tandis que les deux données exactes — 6 copies et l’échelle 1/3 — fixent le calcul.

Un hexagone régulier. Il s’agit du point de départ, pas de la fractale. Le critère qui tranche est la répétition : un hexagone seul a six côtés, tandis que l’hexagone de Sierpinski contient six copies réduites, puis répète indéfiniment cette structure dans chaque copie.

Une image finie n’est pas l’attracteur. À l’écran ou sur papier, la construction s’arrête quand les détails deviennent trop petits. Il faut alors annoncer le nombre d’itérations au lieu de présenter le tracé comme la figure limite exacte.

Le rapport et le nombre de copies vont ensemble. La dimension ne se lit pas sur le seul contour. Avec 6 copies au rapport 1/3, l’équation correcte est $6{\left(\frac{1}{3}\right)}^d=16\backslash left(\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)^d=1$. Inverser les logarithmes donne $\frac{\ln (3)}{\ln (6)}\approx \mathrm{0,613}\backslash frac\{\backslash ln(3)\}\{\backslash ln(6)\}\backslash approx\; 0\{,\}613$, et non la dimension correcte $\frac{\ln (6)}{\ln (3)}\approx \mathrm{1,631}\backslash frac\{\backslash ln(6)\}\{\backslash ln(3)\}\backslash approx\; 1\{,\}631$.

Modifier les placements modifie la figure. Six hexagones de même taille ne suffisent pas à caractériser cet attracteur. Les transformations doivent avoir le rapport 1/3 et leurs centres doivent être les six sommets de l’hexagone initial ; sinon, on construit un autre ensemble auto-similaire.

La fiche homothétie précise la transformation qui produit chacune des six copies réduites.

La dimension de Hausdorff donne le cadre exact de la valeur non entière calculée pour l’attracteur.

La notion de fractale déterministe situe cette construction parmi les figures engendrées par une règle fixe répétée.