tapis de Sierpinski

Prenez un carré et partagez-le comme une grille de morpion. Retirez la case du milieu : huit petits carrés demeurent. Recommencez exactement le même geste dans chacun d'eux. À chaque tour, de nouveaux trous apparaissent, tandis que le motif d'ensemble se retrouve dans ses huit parties.

Le dessin obtenu après quelques tours est une approximation. Le tapis de Sierpinski lui-même correspond au résultat idéal d'une répétition sans fin : dans les huit sous-parties correspondantes, puis à chaque réduction supplémentaire par un facteur 1/3, la même règle se répète exactement.

Le tapis de Sierpinski est une fractale plane définie à partir d'un carré. Une itération partage chaque carré conservé en neuf carrés congruents, disposés en grille 3 × 3, supprime le carré central et conserve les huit autres. La même règle s'applique ensuite à tous les carrés conservés. La limite de cette suite de figures est le tapis, et non l'une de ses approximations finies.

Après le nombre d'itérations noté n, la figure réunit 8ⁿ carrés de côté égal au côté initial divisé par 3ⁿ. Son aire vaut donc l'aire initiale multipliée par (8/9)ⁿ et tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment. Ces égalités décrivent les approximations successives ; la figure limite contient des points, mais aucune surface d'aire positive.

La dimension de Hausdorff, notée d, exprime le fait que huit copies de rapport 1/3 reconstituent la figure. Elle vérifie $8{\left(\frac{1}{3}\right)}^d=18\backslash left(\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash right)^d=1$, d'où $d=\frac{\ln 8}{\ln 3}\approx \mathrm{1,893}d=\backslash frac\{\backslash ln\; 8\}\{\backslash ln\; 3\}\backslash approx\; 1\{,\}893$. Formellement, huit homothéties de rapport 1/3, centrées aux quatre sommets et aux quatre milieux des côtés, envoient le carré initial sur les huit sous-carrés conservés. Les images du tapis par ces homothéties sont les huit copies dont la réunion forme le tapis. Le tapis est l'attracteur de ce système de fonctions itérées. « Carpette de Sierpinski » et « napperon de Sierpinski » sont deux autres appellations du même objet.

On part d'un carré de 27 cm de côté, donc d'aire 729 cm². Les données sont la grille 3 × 3, la suppression du centre et trois itérations.

1. Divisez le carré initial en neuf carrés de 9 cm de côté. Retirez celui du centre. Il reste 8 carrés et une aire de 8 × 81 = 648 cm².

2. Partagez chacun des 8 carrés restants en neuf carrés de 3 cm de côté, puis retirez leurs centres. Il reste 8² = 64 carrés et une aire de 64 × 9 = 576 cm².

3. Recommencez avec des carrés de 1 cm de côté. Il reste 8³ = 512 carrés et une aire de 512 cm².

Le contrôle consiste à multiplier l'aire précédente par 8/9 à chaque tour : 729 × (8/9)³ = 512 cm². La figure présente les quatre états du même carré, de l'étape initiale à la troisième itération.

Pour dessiner une approximation, fixez d'abord le nombre d'itérations. Trois tours sur un carré de 27 cm font apparaître des trous de 9 cm, 3 cm et 1 cm de côté. Si les plus petits carrés deviennent illisibles, une itération de moins donne un tracé plus net.

Pour contrôler une construction, comptez huit copies à chaque changement d'échelle et vérifiez que leur côté est divisé par trois. Si un centre a seulement été colorié au lieu d'être retiré, le dessin illustre le motif, mais pas l'ensemble obtenu par suppressions.

Pour estimer l'occupation du carré après n tours, utilisez la proportion (8/9)ⁿ. Un comptage case par case reste possible aux premières étapes ; la formule devient préférable dès que le nombre de petits carrés augmente.

Le triangle de Sierpinski part d'un triangle partagé en quatre triangles et retire le triangle central. Le tapis part d'un carré partagé en neuf carrés et en conserve huit. Une maille triangulaire tranche donc en faveur du triangle ; une grille carrée 3 × 3, en faveur du tapis.

Une construction arrêtée après trois tours n'est pas la fractale limite. Le symptôme est la présence de 512 carrés pleins de 1 cm de côté. Il faut annoncer « troisième approximation » et réserver « tapis de Sierpinski » à l'itération poursuivie indéfiniment.

Une aire qui tend vers zéro ne signifie pas que la figure limite est vide. À chaque étape, des carrés subsistent ; le calcul 729 × (8/9)ⁿ montre seulement que leur aire totale se rapproche de zéro. Il faut distinguer l'existence des points de la mesure d'aire.

La dimension 1,893 est un arrondi, non une égalité exacte. La valeur exacte est $\frac{\ln 8}{\ln 3}\backslash frac\{\backslash ln\; 8\}\{\backslash ln\; 3\}$. Il faut conserver le signe ≈ devant l'écriture décimale.

Changer la case retirée ou ne pas appliquer la règle à chacun des huit carrés produit une autre construction. Le symptôme est la disparition de l'auto-similarité fondée sur huit copies de rapport 1/3. Il faut reprendre exactement la suppression centrale à toutes les échelles.

La dimension de Hausdorff précise pourquoi le quotient ln 8 / ln 3 mesure une figure située entre une courbe et une surface.

Le triangle de Sierpinski permet de comparer deux règles d'auto-similarité fondées sur des supports et des nombres de copies différents.

L'article Les fractales au cinéma ouvre sur la manière dont les motifs fractals servent à composer des formes visuelles complexes.