tétraèdre de Sierpinski

Imaginez un tétraèdre plein, une pyramide à quatre faces triangulaires. À chacun de ses quatre sommets, gardez une copie deux fois plus petite et retirez tout l’espace laissé entre ces copies.

Recommencez le même geste sur chaque morceau conservé. Le nombre de petits tétraèdres est multiplié par quatre tandis que leur arête est divisée par deux. Répétée sans fin, cette règle produit une forme ajourée qui ressemble à elle-même à toutes les échelles : le tétraèdre de Sierpinski.

Le tétraèdre de Sierpinski est une fractale tridimensionnelle auto-similaire. À l’étape initiale, on considère un tétraèdre plein. À chaque étape suivante, tout tétraèdre conservé est remplacé par quatre copies semblables placées à ses quatre sommets. Chaque copie a des arêtes deux fois plus courtes que celles de son parent, et leurs intérieurs ne se recouvrent pas.

Si le numéro de l’étape est noté n, le nombre de copies est noté N_n et la longueur de leur arête est notée a_n. Pour une arête initiale a₀, les relations sont $N_n=4^{n}N\_n=4^n$ et $a_n=\frac{a_0}{2^n}a\_n=\backslash frac\{a\_0\}\{2^n\}$. Une projection du premier passage rend visibles les quatre copies d’échelle 1/2 qui occupent les sommets.

L’objet fractal est la limite obtenue lorsque le nombre d’étapes augmente indéfiniment, et non l’une de ses approximations finies. Sa dimension fractale, notée d, traduit l’équilibre entre quatre copies et une réduction de moitié : $4{\left(\frac{1}{2}\right)}^d=14\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)^d=1$. On en déduit $d=\frac{\log 4}{\log 2}=2d=\backslash frac\{\backslash log\; 4\}\{\backslash log\; 2\}=2$. Le triangle de Sierpinski suit une autre équation, car il conserve trois copies au lieu de quatre.

On part d’un tétraèdre dont l’arête mesure 8 cm. Les données sont l’étape initiale n = 0, une copie au départ, un facteur 4 pour le nombre de copies et un facteur 1/2 pour la longueur des arêtes.

Étape 1. Les quatre sommets portent quatre tétraèdres. Chacun a une arête de 8 × 1/2 = 4 cm.

Étape 2. Chacune des quatre copies en produit quatre : il y en a 4 × 4 = 16. Leur arête mesure 4 × 1/2 = 2 cm.

Étape 3. Le même calcul donne 16 × 4 = 64 copies, chacune d’arête 2 × 1/2 = 1 cm.

Le contrôle peut être refait directement avec l’étape n = 3 : $4^3=644^3=64$ et $\frac{8}{2^3}=1\text{cm}\backslash frac\{8\}\{2^3\}=1\backslash ,\backslash text\{cm\}$. Les deux calculs retrouvent exactement le nombre de copies et leur arête.

Pour construire une maquette, on choisit d’abord un nombre fini d’étapes. Trois étapes donnent 64 tétraèdres d’arête 1 cm lorsque l’arête initiale mesure 8 cm. Une étape supplémentaire affine la forme, mais multiplie encore par quatre le nombre de pièces.

Pour reconnaître la règle dans un dessin ou un modèle 3D, on compare deux échelles successives. Le bon indice est la présence de quatre copies semblables, deux fois plus petites, placées aux sommets. Si le motif compte un autre nombre de copies, il faut chercher une autre fractale.

Pour estimer la dimension auto-similaire, on relève le nombre de copies et leur facteur de réduction. Ici, quatre copies au facteur 1/2 conduisent à la dimension 2. Quand les copies n’ont pas toutes la même échelle, ce calcul simple doit être remplacé par une relation adaptée aux différents facteurs.

Le triangle de Sierpinski est une fractale plane construite à partir d’un triangle, tandis que le tétraèdre de Sierpinski part d’un solide à quatre faces triangulaires. Le test décisif est le support : trois copies aux sommets dans le plan pour le triangle, quatre copies aux sommets dans l’espace pour le tétraèdre. Leurs dimensions fractales diffèrent : $\frac{\log 3}{\log 2}\approx \mathrm{1,585}\backslash frac\{\backslash log\; 3\}\{\backslash log\; 2\}\backslash approx\; 1\{,\}585$ pour le triangle, contre 2 pour le tétraèdre.

Une construction arrêtée après trois étapes n’est pas encore la fractale limite : c’est une approximation composée de 64 tétraèdres. Pour parler du tétraèdre de Sierpinski au sens mathématique, il faut considérer la répétition indéfinie du procédé.

La dimension fractale 2 ne transforme pas l’objet en surface plane. Elle décrit la manière dont le nombre de copies croît lorsque l’échelle est divisée par deux. Le tétraèdre de Sierpinski reste plongé dans un espace à trois dimensions.

Le facteur de réduction doit être appliqué aux longueurs. Diviser l’arête par deux divise le volume de chaque petit tétraèdre par huit, et non par deux. Comme quatre copies subsistent, le volume total des approximations est divisé par deux à chaque étape et tend vers zéro.

Le triangle de Sierpinski montre comment une règle voisine agit dans le plan avec trois copies au lieu de quatre.

La dimension fractale précise le calcul qui relie le nombre de copies à leur facteur de réduction.

La notion Auto-similaire approfondit la répétition d’une même structure à plusieurs échelles.