Similarité interne

Imaginez un triangle dont on retire le petit triangle central, puis recommencez sur les trois triangles restants. Chaque morceau conserve la forme du triangle de départ, mais à une échelle plus petite. En répétant ce geste, on obtient un motif qui se ressemble à plusieurs niveaux d’observation. Cette ressemblance organisée est la similarité interne, aussi appelée auto-similarité. Elle ne signifie pas que chaque détail est identique : les copies doivent seulement être obtenues par une réduction, une rotation ou une translation qui conserve les formes.

Un ensemble est intérieurement similaire à lui-même lorsqu’il est réunion de copies de lui-même transformées par des similitudes contractantes. Une similitude conserve les angles et multiplie toutes les longueurs par un même rapport positif ; le rapport est strictement inférieur à 1 dans le cas contractant, et vaut 1 dans le cas d’une isométrie. Si K est un compact auto-similaire, on peut écrire K comme l’union d’un nombre fini d’images réduites de K.

Si les copies utilisent toutes le même rapport de contraction r et satisfont la condition d’ensemble ouvert (il existe un ouvert non vide O tel que les images des O soient deux à deux disjointes et contenues dans O), avec N copies, la dimension de similarité d est déterminée par l’équation suivante :

Ici, N désigne le nombre de copies et r leur rapport de réduction. Lorsque ces hypothèses sont satisfaites, cette dimension vaut $d=\frac{\ln N}{\ln (1\mathrm{/}r)}d=\backslash frac\{\backslash ln\; N\}\{\backslash ln(1/r)\}$. L’ensemble de Cantor, le flocon de Koch et le triangle de Sierpiński illustrent cette construction ; la dimension de Hausdorff peut alors coïncider avec cette dimension calculée.

Considérons un triangle de Sierpiński construit à partir d’un triangle équilatéral de côté 1. À chaque étape, chaque triangle plein est remplacé par trois copies semblables, chacune ayant un côté deux fois plus petit. Après deux étapes, on peut annoncer les données suivantes : le nombre de copies est N = 3² = 9 et le rapport de contraction total est r = (1/2)² = 1/4.

Le calcul de la dimension de similarité suit ces opérations :
1. Le nombre de copies par étape est 3.
2. Le rapport de réduction par étape est 1/2.
3. La dimension d vérifie 9 × (1/4)^d = 1.
4. Cette égalité donne $d=\frac{\ln 9}{\ln 4}=\frac{\ln 3}{\ln 2}d=\backslash frac\{\backslash ln\; 9\}\{\backslash ln\; 4\}=\backslash frac\{\backslash ln\; 3\}\{\backslash ln\; 2\}$.

Le résultat est donc d = ln(3)/ln(2), soit environ 1,585. Le contrôle est immédiat : 9 × (1/4)^ln(3)/ln(2) = 1, car 1/4 = (1/2)² et 9 = 3². Le nombre d’étapes change la taille des copies, mais pas cette dimension.

Pour reconnaître une auto-similarité dans une construction géométrique, observez d’abord si une même forme réapparaît à plusieurs tailles. Comptez ensuite les copies produites par une étape et mesurez leur rapport de réduction.

Dans le triangle de Sierpiński, le geste consiste à retirer le triangle central de chaque triangle présent. Cette construction est préférable à une simple observation du contour, car elle fournit des copies identifiables et un rapport de réduction vérifiable.

Pour estimer la dimension, utilisez la relation entre le nombre de copies et leur réduction seulement lorsque les copies suivent réellement la même règle. Sinon, décrivez la ressemblance sans appliquer automatiquement la formule.

La similarité interne ne se confond pas avec la symétrie. Une symétrie euclidienne compare une figure à son image par une transformation qui conserve les longueurs, tandis que la similarité interne exige des copies réduites qui composent l’ensemble. Un carré possède des axes de symétrie, mais cela ne suffit pas à en faire un ensemble auto-similaire au sens fractal.

Elle ne se confond pas non plus avec une ressemblance visuelle vague. Le critère qui tranche est la possibilité de décrire les morceaux par des similitudes contractantes et de retrouver l’ensemble comme leur réunion. Un motif seulement décoratif peut sembler répétitif sans satisfaire cette condition.

La formule de dimension n’est pas universelle. Elle suppose un nombre fini N de copies, un rapport de contraction commun r, et une disposition dont les recouvrements ne perturbent pas le calcul. Si les copies ont plusieurs rapports, il faut remplacer cette écriture par une équation tenant compte de chaque rapport.

Un autre piège apparaît lorsque l’on confond une étape finie avec la figure limite. Après deux étapes du triangle de Sierpiński, il reste 9 triangles de côté 1/4 : c’est une approximation finie de la construction. La dimension 1,585 environ caractérise la règle répétée indéfiniment, pas un comptage de pixels sur cette seule image.

Enfin, une auto-similarité peut être exacte ou seulement statistique. Dans le premier cas, chaque copie obéit à une transformation explicitement définie. Dans le second, l’œil repère une répétition globale, mais la formule précédente ne doit pas être appliquée sans hypothèses supplémentaires.

La similarité interne ouvre vers une étude plus large des fractales : on peut comparer la dimension de similarité à la dimension de Hausdorff, examiner les constructions à plusieurs rapports de contraction et distinguer l’auto-similarité exacte de l’auto-similarité statistique. Ces prolongements demandent de préciser les recouvrements et la notion de dimension employée.