flocon de von Koch

Dessinez un triangle, puis remplacez le tiers central de chaque côté par une petite pointe triangulaire. Recommencez sur tous les segments : chaque trait donne quatre traits trois fois plus courts. Le contour se couvre de pointes de plus en plus fines et prend l'allure d'un flocon.

Ce geste ajoute sans cesse du contour, mais des surfaces toujours plus petites. À la limite, le périmètre est infini tandis que l'aire enfermée reste finie.

Le flocon de von Koch est la courbe fermée obtenue en appliquant la construction de la courbe de von Koch aux trois côtés d'un triangle équilatéral. À chaque itération, chaque segment est partagé en trois parties égales. Le tiers central est remplacé par les deux autres côtés d'un triangle équilatéral, ce qui transforme un segment en quatre segments de longueur trois fois moindre. La construction est répétée sur tous les segments obtenus.

Si le rang de l'itération est noté n, le nombre de segments est multiplié par 4 et leur longueur par 1/3 à chaque rang. Le périmètre initial étant noté P₀, celui du rang n vaut $P_n=P_0{\left(\frac{4}{3}\right)}^{n}P\_n=P\_0\backslash left(\backslash frac\{4\}\{3\}\backslash right)^n$. Il tend donc vers l'infini. En revanche, les aires ajoutées forment une série géométrique convergente : l'aire limite vaut 8/5 de l'aire du triangle initial.

La courbe limite du flocon est continue, fermée, sans point double et sans tangente en aucun point. Sa dimension fractale est $\frac{\ln 4}{\ln 3}\approx \mathrm{1,26}\backslash frac\{\backslash ln\; 4\}\{\backslash ln\; 3\}\backslash approx\; 1\{,\}26$. Niels Helge von Koch a étudié cette construction en 1904. La courbe de von Koch appliquée à chacun des trois côtés est, elle, l'attracteur d'un système de quatre similitudes du plan, chacune de rapport 1/3.

Partons d'un triangle équilatéral de côté 3 cm. Les données sont : trois côtés au rang 0 ; une longueur initiale de 3 cm par côté ; quatre nouveaux segments pour chaque ancien segment ; un rapport de longueur égal à 1/3.

1. Au rang 0, le contour compte 3 segments de 3 cm. Son périmètre vaut 3 × 3 = 9 cm.

2. Au rang 1, il compte 3 × 4 = 12 segments de 3 ÷ 3 = 1 cm. Son périmètre vaut 12 × 1 = 12 cm.

3. Au rang 2, il compte 12 × 4 = 48 segments de 1 ÷ 3 cm. Son périmètre vaut 48 × 1/3 = 16 cm.

Le facteur 4/3 se retrouve à chaque passage : 9 × 4/3 = 12, puis 12 × 4/3 = 16. Ce contrôle se refait en multipliant le nombre de segments par leur longueur. L'aire, elle, tend vers 8/5 de l'aire initiale, soit $\frac{8}{5}\times \frac{9\sqrt{3}}{4}=\frac{18\sqrt{3}}{5}\approx \mathrm{6,24}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\backslash frac\{8\}\{5\}\backslash times\backslash frac\{9\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}=\backslash frac\{18\backslash sqrt\{3\}\}\{5\}\backslash approx\; 6\{,\}24\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^2$.

Pour construire une approximation, on choisit un rang fini, puis on applique la même transformation à chaque segment. Un rang plus élevé rend visibles des pointes plus petites, mais augmente rapidement le nombre de traits à tracer.

Pour calculer un périmètre à un rang donné, on utilise le facteur 4/3 par itération. Pour l'objet limite, cette mesure finie n'est plus adaptée : le contour a un périmètre infini.

Pour calculer la surface enfermée, notons A₀ l'aire du triangle initial. Au rang 1, les trois triangles ajoutés ont chacun une aire égale à A₀/9 : le premier ajout vaut donc A₀/3. Au rang suivant, l'ajout vaut 4A₀/27 ; d'un rang à l'autre, les ajouts sont ainsi multipliés par 4/9. Leur somme géométrique donne $A_0+\frac{A_0\mathrm{/}3}{1-4\mathrm{/}9}=\frac{8}{5}{A}_{0}A\_0+\backslash frac\{A\_0/3\}\{1-4/9\}=\backslash frac\{8\}\{5\}A\_0$, l'aire limite annoncée.

Courbe de von Koch et flocon de von Koch. La première part d'un segment ; le second applique la même règle aux trois côtés d'un triangle équilatéral. Un tracé ouvert issu d'un seul segment est donc une courbe de von Koch, pas le flocon fermé.

Le contour grandit, pas l'aire sans borne. Le symptôme trompeur est de conclure qu'un périmètre infini enferme nécessairement une aire infinie. Il faut séparer les deux suites : le périmètre est multiplié par 4/3, tandis que les aires ajoutées ont une somme finie, égale à 8/5 de l'aire initiale.

Un zoom ne lisse pas la limite. Sur une approximation finie, chaque segment droit possède une direction et les sommets sont en nombre fini. Pour la courbe limite, de nouvelles pointes apparaissent à toute échelle : il ne faut pas attribuer au flocon limite les tangentes visibles sur un tracé arrêté.

Le rang doit être précisé. Avec un triangle initial de côté 3 cm, les périmètres 9 cm, 12 cm et 16 cm appartiennent respectivement aux rangs 0, 1 et 2. Sans ce rang, une mesure du dessin ne caractérise pas la courbe limite.

La dimension fractale explique pourquoi le contour se situe entre une ligne et une surface, avec une dimension d'environ 1,26.

La suite géométrique fournit l'outil de calcul qui relie les aires ajoutées à l'aire limite finie.

L'article La dimension fractale replace ce nombre non entier dans une présentation plus large des objets fractals.