éponge de Menger-Sierpinski

Imaginez un cube partagé en 27 cubes identiques, comme un assemblage de 3 cubes sur chaque côté. En retirant celui du centre et ceux placés au centre des six faces, il en reste 20.

Le même évidement est ensuite pratiqué dans chacun des cubes conservés, puis recommencé sans fin. Des trous apparaissent ainsi à toutes les échelles : c’est l’éponge de Menger. Sur chacune de ses faces, le motif visible est celui d’un tapis de Sierpinski.

L’éponge de Menger est le solide fractal obtenu à la limite d’une construction itérative. À chaque étape, tout cube conservé est découpé en 3 × 3 × 3 sous-cubes égaux. Les six sous-cubes situés au centre des faces et le sous-cube central sont retirés ; les 8 sous-cubes des sommets et les 12 sous-cubes au milieu des arêtes restent en place.

Après un nombre n d’itérations, où n est un entier positif ou nul, le modèle contient 20ⁿ cubes de côté 3⁻ⁿ fois celui du cube initial. Sa dimension de Hausdorff, notée d, traduit cette autosimilarité : $d=\frac{\ln 20}{\ln 3}\approx \mathrm{2,727}d=\backslash frac\{\backslash ln\; 20\}\{\backslash ln\; 3\}\backslash approx\; 2\{,\}727$. Chaque face reproduit un tapis de Sierpinski.

De façon équivalente, l’éponge est l’attracteur de 20 homothéties de rapport 1/3, centrées aux 8 sommets et aux 12 milieux des arêtes du cube initial. Karl Menger l’a décrite en 1926, et son nom renvoie à ce mathématicien ; Waclaw Sierpinski est quant à lui associé au tapis de Sierpinski qui apparaît sur les faces.

Prenons un cube initial de côté 1. Les données sont les suivantes : 3 subdivisions par direction, donc 27 sous-cubes ; 7 retraits, soit 6 cubes au centre des faces et 1 cube central ; 20 cubes conservés. Les trois tranches du découpage permettent de recompter ces 20 cubes sans ambiguïté.

1. Diviser le côté par 3 : chaque petit cube a pour côté 1/3.
2. Compter les cubes restants : 27 − 7 = 20.
3. Calculer le volume conservé : 20 × (1/3)³ = 20/27.
4. Recommencer sur les 20 cubes : la deuxième étape contient 20² = 400 cubes, chacun de côté 1/9.

Après n itérations, le nombre de cubes est 20ⁿ et la part du volume initial encore présente vaut (20/27)ⁿ. Le contrôle est refaisable au premier rang : les deux tranches extérieures comptent 8 cubes chacune et la tranche médiane 4, soit 8 + 4 + 8 = 20.

Pour fabriquer une approximation, choisissez d’abord un nombre fini d’itérations. Un modèle au rang 1 montre les grands tunnels ; le rang 2 révèle les évidements répétés, au prix de 400 petits cubes à représenter.

Pour contrôler un dessin ou un assemblage au premier rang, observez ses trois tranches. Les deux tranches extérieures doivent avoir leur case centrale vide, tandis que la tranche médiane ne conserve que ses quatre coins.

Pour suivre l’échelle plutôt que dessiner tous les cubes, utilisez les relations 20ⁿ pour le nombre de pièces et 3⁻ⁿ pour leur côté relatif. Une représentation explicite convient aux premiers rangs ; les formules deviennent préférables lorsque n augmente.

L’éponge de Menger ne se confond pas avec le tapis de Sierpinski. Le critère décisif est la dimension de la construction : l’éponge part d’un cube découpé en 27 sous-cubes, tandis que le tapis est le motif bidimensionnel visible sur chacune de ses faces.

Un modèle arrêté au rang 1 ou 2 n’est qu’une approximation finie. Le symptôme est simple : on y trouve un plus petit cube sans nouvel évidement. Pour parler de l’éponge fractale elle-même, il faut considérer la limite obtenue lorsque le nombre d’itérations augmente sans borne.

Une vue d’une seule face ne suffit pas à vérifier la construction tridimensionnelle. Elle montre bien un tapis de Sierpinski, mais masque le sous-cube central et certains tunnels. Il faut contrôler les trois tranches du découpage : 8 cubes, puis 4, puis 8.

À chaque itération, la fraction de volume conservée est multipliée par 20/27. Ainsi, après n étapes, elle vaut (20/27)ⁿ et tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. Il ne faut donc pas déduire du mot « solide » que l’objet limite conserve un volume positif.

Le tapis de Sierpinski permet d’étudier séparément le motif bidimensionnel qui apparaît sur chaque face de l’éponge de Menger.