ensemble de Cantor

Prenez une bande de papier représentant le segment [0, 1]. Retirez son tiers du milieu, puis faites la même chose sur chacun des deux morceaux conservés. Recommencez sans fin : il reste l'ensemble de Cantor, une poussière de points organisée à toutes les échelles.

Ce reste paraît minuscule : il ne contient aucun intervalle et sa longueur totale est nulle. Pourtant, il possède un nombre non dénombrable de points. Cette coexistence entre abondance de points et absence de longueur en fait un exemple marquant de fractal.

L'ensemble de Cantor est un sous-ensemble du segment réel [0, 1]. À l'étape initiale, notée C₀, on conserve tout le segment. Pour obtenir l'étape suivante, on retire de chaque segment présent son intervalle ouvert central, puis on répète l'opération indéfiniment. L'ensemble final, noté C, est formé des points qui subsistent à toutes les étapes. Le retrait porte sur un intervalle ouvert : ses deux extrémités restent donc dans C.

La même structure se retrouve dans chacun des deux tiers conservés. Si f₀ et f₁ désignent les homothéties de rapport 1/3 centrées respectivement en 0 et en 1, l'autosimilarité s'écrit :C est ainsi l'attracteur de ces deux homothéties et un exemple paradigmatique de fractal.

Sa dimension au sens de Hausdorff vaut exactement $\frac{\ln 2}{\ln 3}\backslash frac\{\backslash ln\; 2\}\{\backslash ln\; 3\}$, soit environ 0,630. L'ensemble est non dénombrable, mais son intérieur est vide et sa mesure de Lebesgue est nulle. Étudié en 1875 par Henry Smith, puis en 1883 par Georg Cantor, il est fondamental en topologie et en théorie de la mesure. Il est aussi appelé ensemble triadique de Cantor ou poussière de Cantor.

On rencontre l'ensemble de Cantor dans un dessin en lignes superposées sur le segment [0, 1]. La première ligne est entière ; la suivante présente un vide central ; chaque nouvelle ligne double le nombre de segments et reproduit les mêmes vides à une échelle plus petite. Ces marqueurs visuels portent l'information essentielle : quels points ont résisté à tous les retraits successifs.

Cette figure intervient en topologie, en théorie de la mesure et dans l'étude des fractales. Son histoire associe deux repères fournis par la source : Henry Smith l'étudie en 1875, puis Georg Cantor en 1883.

La grandeur à suivre est la longueur totale conservée à chaque étape. La convention est importante : l'étape 0 est le segment [0, 1] de longueur 1, et l'on retire toujours le tiers central ouvert de chaque segment encore présent.

1. Repérez le numéro de l'étape.
2. Comptez les segments conservés : leur nombre double à chaque passage.
3. Lisez leur longueur : elle est divisée par 3 à chaque passage.
4. Multipliez le nombre de segments par la longueur de l'un d'eux pour obtenir la longueur totale restante.

L'œil peut croire que les traits finiront par disparaître. Le bon réflexe consiste à séparer deux constats : la longueur totale tend vers zéro, tandis que l'ensemble limite reste non dénombrable. La figure des quatre premières étapes rend cette différence visible sans représenter l'infinité du procédé.

Partons du segment [0, 1] et arrêtons la construction après trois retraits. Nous voulons déterminer le nombre de segments, la longueur de chacun et leur longueur totale.

Données :
longueur initiale : 1 ;
rapport conservé sur chaque branche : 1/3 ;
nombre de branches issues d'un segment : 2 ;
nombre de retraits successifs : 3.

1. Après le premier retrait, il reste 2 segments de longueur 1/3, soit une longueur totale de 2/3.
2. Après le deuxième, il reste 4 segments de longueur 1/9, soit 4/9 au total.
3. Après le troisième, il reste 8 segments de longueur 1/27.
4. Leur longueur totale est donc :

Le contrôle se refait en multipliant trois fois la longueur conservée par 2/3 : (2/3) × (2/3) × (2/3) = 8/27. Ces huit segments ne sont qu'une approximation finie ; l'ensemble de Cantor exige de poursuivre le procédé indéfiniment.

Pour construire une représentation, on trace quelques étapes finies et l'on indique clairement leur rang. Cette approximation est préférable à un dessin présenté comme l'ensemble final, puisque le retrait doit se poursuivre indéfiniment.

Pour raisonner sur la taille, on choisit le critère adapté. Le comptage des points conduit à la non-dénombrabilité ; la longueur conduit à la mesure de Lebesgue nulle. Employer l'un à la place de l'autre ferait disparaître le paradoxe apparent au lieu de l'expliquer.

Pour étudier l'autosimilarité, on compare l'ensemble entier avec ses copies dans les tiers gauche et droit. Les deux homothéties de rapport 1/3 sont alors plus précises qu'une simple ressemblance visuelle.

Un segment réel contient un intervalle autour de chacun de ses points intérieurs et possède une longueur positive. L'ensemble de Cantor est contenu dans [0, 1], mais son intérieur est vide et sa mesure de Lebesgue est nulle : ces critères empêchent de le traiter comme un segment.

Un ensemble dénombrable peut être énuméré point par point. La mesure nulle ne suffit pas à donner cette propriété : l'ensemble de Cantor tranche le cas, car sa mesure de Lebesgue est nulle tout en étant non dénombrable.

Une étape finie n'est pas l'ensemble limite. Après trois retraits, le dessin contient encore huit segments de longueur 1/27. Il faut poursuivre le procédé indéfiniment et ne retenir que les points présents à toutes les étapes.

Les extrémités ne sont pas retirées. À chaque étape, c'est l'intervalle central ouvert qui disparaît. Lorsque la présence d'un point frontière est en jeu, il faut donc vérifier qu'il est une extrémité plutôt que l'inclure dans le vide central.

Zéro longueur ne signifie pas zéro point. La longueur totale des segments à l'étape n vaut (2/3)ⁿ et tend vers 0, mais l'ensemble final est non dénombrable. Il faut préciser si « taille » désigne une mesure ou un nombre de points.

0,630 est un arrondi. La dimension de Hausdorff exacte est $\frac{\ln 2}{\ln 3}\backslash frac\{\backslash ln\; 2\}\{\backslash ln\; 3\}$. Pour un calcul ou une comparaison précise, il faut conserver cette expression plutôt que remplacer l'égalité exacte par sa valeur décimale approchée.

Le glossaire dimension de Hausdorff précise le sens de la valeur ln 2 / ln 3 associée à ce fractal.

Le glossaire mesure de Lebesgue éclaire pourquoi un ensemble non dénombrable peut avoir une longueur nulle.

Le glossaire homothétie détaille la transformation de rapport 1/3 qui produit les deux copies autosimilaires.

L'article La dimension fractale replace la valeur de Hausdorff dans une étude plus large des dimensions fractales.