Triadique (ensemble)

Imaginez un segment entre 0 et 1. Retirez-en le tiers du milieu : il reste deux petits segments. Recommencez le même geste sur chacun, puis sur les quatre segments obtenus, sans jamais retirer leurs extrémités. Après chaque étape, les morceaux restants deviennent plus nombreux et plus courts, tandis que la longueur totale retirée se rapproche de 1.

Les points qui survivent à toutes les étapes forment l'ensemble triadique de Cantor. Il contient pourtant une infinité de points impossible à compter un par un, alors que sa longueur au sens de la mesure est nulle. Cette coexistence en fait un modèle particulièrement parlant pour comprendre que « très étalé » et « de longueur nulle » ne sont pas des contraires.

L'ensemble triadique de Cantor, noté ici C, est l'intersection de tous les ensembles obtenus à partir de [0,1] en retirant, à chaque étape, le tiers central ouvert de chaque intervalle conservé. À la première étape, on retire (1/3, 2/3) ; à la suivante, on retire les tiers centraux des intervalles [0,1/3] et [2/3,1], et ainsi de suite. Les extrémités restent toujours présentes.

Cette construction s'applique aux points de [0,1] dont une écriture en base 3 ne comporte que les chiffres 0 et 2, en choisissant l'écriture qui évite un développement terminé lorsqu'il y en a deux. L'ensemble obtenu est fermé et borné, donc compact dans la droite réelle ; il est parfait, car chacun de ses points est approché par d'autres points de C. Il est non dénombrable, mais sa mesure de Lebesgue est nulle. La construction donne ainsi une structure fractale de dimension de Hausdorff log(2)/log(3), strictement comprise entre 0 et 1.

La mesure nulle ne signifie pas que l'ensemble est vide : elle signifie que des unions d'intervalles le recouvrant peuvent avoir une longueur totale aussi petite que souhaité. La dimension de Hausdorff décrit ici une complexité géométrique plus fine que la seule longueur.

La construction repose sur cinq éléments. L'intervalle initial [0,1] fixe le cadre. Le tiers central ouvert est la partie supprimée à chaque tour. Les intervalles restants portent la répétition du geste. Les extrémités ne sont jamais supprimées. Enfin, l'intersection de toutes les étapes rassemble les points qui ont survécu.

À chaque étape, chaque intervalle conservé donne deux intervalles de longueur égale au tiers de la précédente. Après n étapes, il reste 2ⁿ intervalles, chacun de longueur 3⁻ⁿ. Le nombre de morceaux dépend donc du nombre de répétitions, tandis que leur taille dépend de la puissance de 3. Cette dépendance simultanée construit la poussière de points et permet de calculer la longueur totale restante.

Le tracé, la couleur ou l'échelle d'un dessin ne définissent pas C. Ce sont la règle de suppression, l'intervalle de départ et la conservation des extrémités qui le définissent. Ces données suffisent à reconstruire chaque étape et à justifier les propriétés de fermeture et de mesure.

On suit les deux premières étapes de la construction sur l'intervalle [0,1]. Les données sont : longueur initiale 1 ; tiers central retiré à la première étape (1/3, 2/3) ; deux intervalles restants ; puis deux nouveaux tiers centraux.

Étape 1 : la longueur retirée vaut 1/3. La longueur restante vaut 1 − 1/3 = 2/3.
Étape 2 : chaque intervalle restant mesure 1/3, donc chaque tiers central retiré mesure 1/9. Il y a deux intervalles, donc la longueur retirée vaut 2 × 1/9 = 2/9.
Après deux étapes, la longueur restante vaut 2/3 − 2/9 = 4/9.

Le résultat est donc une union de quatre intervalles, chacun de longueur 1/9, pour une longueur totale de 4/9. Le contrôle est direct : 4 × 1/9 = 4/9. À l'étape suivante, le même calcul donne huit intervalles de longueur 1/27 ; la règle est bien conservée.

Pour visualiser la construction, on dessine d'abord [0,1], puis on efface le tiers central de chaque segment encore présent. Une représentation numérique s'arrête à une étape choisie ; elle montre une approximation finie, pas l'ensemble complet.

Pour tester si un nombre appartient à C, on examine une écriture en base 3. Le nombre appartient à C s'il possède au moins une écriture composée seulement de 0 et de 2. La présence d'un chiffre 1 dans une écriture ne suffit donc pas à l'exclure : par exemple, 1/3=0,1₃=0,0222…₃. En revanche, il est exclu si aucune de ses écritures ternaires ne contient uniquement des 0 et des 2.

Pour mesurer la construction, on additionne les longueurs retirées à chaque étape. Cette méthode est préférable à une mesure faite sur une image, car le dessin possède une résolution finie et peut masquer des intervalles très courts.

L'ensemble triadique de Cantor ne se confond pas avec l'intervalle [0,1]. Le test qui tranche est la présence ou non d'un chiffre 1 dans une écriture ternaire admissible : 1/2 appartient à l'intervalle, mais il est retiré dès la première étape, car il se trouve dans (1/3, 2/3).

Il ne se confond pas non plus avec l'ensemble des nombres rationnels de [0,1]. C contient des rationnels et des irrationnels, tandis que les rationnels sont dénombrables et C ne l'est pas. La dénombrabilité, et non l'apparence du dessin, permet de les distinguer.

Une étape finie ne produit jamais C tout entier. Elle produit un ensemble de segments, avec une longueur restante égale à (2/3)ⁿ après n étapes. Le symptôme d'une confusion est d'annoncer une longueur nulle sur un dessin arrêté ; il faut distinguer l'approximation finie de la limite quand n tend vers l'infini.

Les nombres ayant deux écritures en base 3 demandent une convention. Par exemple, une écriture terminée peut être remplacée par une écriture qui se termine par des 2. Il faut retenir celle qui ne fait pas apparaître de chiffre 1 ; sinon, un point conservé peut être classé à tort comme supprimé.

Une longueur nulle ne permet pas de conclure que C est dénombrable ou vide. Ici, C reste fermé, parfait et non dénombrable. Le bon réflexe consiste à traiter séparément la taille mesurée, le nombre de points et la structure topologique.

La construction triadique ouvre vers une question plus générale : comment mesurer un objet qui contient des points à toutes les échelles, mais aucune longueur ordinaire positive ? La dimension de Hausdorff apporte une réponse graduée. Pour C, elle vaut log(2)/log(3), car chaque étape remplace un intervalle par deux copies réduites d'un facteur 3. Cette dimension décrit la complexité d'emboîtement sans annuler l'information donnée par la mesure de Lebesgue nulle.