Escalier du diable
La fonction escalier du diable (ou fonction de Cantor) est une fonction continue croissante définie sur [0,1] qui est presque partout de dérivée nulle mais qui n'est pas constante. Elle est construite à partir de l'ensemble triadique de Cantor : sur chaque intervalle retiré lors de la construction de l'ensemble de Cantor, la fonction est constante, et sa valeur est déterminée de façon cohérente. Cette fonction est un exemple remarquable d'une fonction continue dont la dérivée est nulle presque partout sans être constante.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier les paliers de la fonction aux intervalles retirés de l’ensemble de Cantor.
- Calculer exactement F(1/4) par conversion d’une écriture ternaire en écriture binaire.
- Expliquer pourquoi une dérivée nulle presque partout n’impose pas ici une fonction constante.
- Distinguer continuité, croissance stricte et absolue continuité.
En clair
Imaginez une courbe qui monte de 0 à 1 sans jamais sauter. Sur le tiers central de l’intervalle, entre 1/3 et 2/3, elle reste pourtant à la hauteur 1/2. Le même phénomène recommence sur les petits intervalles retirés pour former l’ensemble de Cantor.
La montée se concentre ainsi sur l’ensemble de Cantor, qui occupe une longueur nulle. Partout ailleurs, la courbe traverse un palier : sa dérivée y vaut zéro. Elle passe néanmoins de 0 à 1, d’où son surnom d’escalier du diable.
Définition
La fonction de Cantor, notée ici F, est une fonction de l’intervalle [0,1] vers [0,1]. Elle est continue, croissante au sens large, avec F(0) = 0 et F(1) = 1. Elle est constante sur chaque intervalle ouvert supprimé pendant la construction de l’ensemble triadique de Cantor. Elle vaut notamment 1/2 sur tout l’intervalle [1/3, 2/3].
Pour un point x de l’ensemble de Cantor, on choisit une écriture en base trois n’utilisant que les chiffres 0 et 2. Pour chaque rang n, le nombre an vaut 0 si le chiffre ternaire est 0, et 1 s’il est 2. La fonction remplace alors les chiffres ternaires 0 et 2 par les chiffres binaires 0 et 1 :
Cette règle fixe les valeurs sur l’ensemble de Cantor. Sur chaque intervalle retiré, la valeur commune des deux extrémités prolonge F de façon constante. Le complément de l’ensemble de Cantor a une longueur totale égale à 1 ; la dérivée de F vaut donc zéro presque partout, bien que F ne soit pas constante.
Un exemple, pas à pas
Calculons la hauteur de l’escalier au point x = 1/4. Les données sont l’écriture ternaire de x, la règle 0 ternaire → 0 binaire et la règle 2 ternaire → 1 binaire.
1. Le développement ternaire alterne 0 et 2. La série géométrique confirme sa valeur :
2. Remplaçons chaque 0 par 0 et chaque 2 par 1. Le nombre 0,020202… en base trois devient 0,010101… en base deux.
3. Additionnons les chiffres binaires placés aux rangs pairs :
La hauteur cherchée est donc exactement 1/3. Pour contrôler le résultat, les premières troncatures binaires donnent 1/4, puis 5/16, puis 21/64 : elles augmentent vers 1/3, comme l’exige la série géométrique.
En pratique
En analyse, la fonction de Cantor teste les hypothèses d’un raisonnement. Si une preuve conclut qu’une fonction est constante dès que sa dérivée est nulle presque partout, cet exemple révèle l’hypothèse manquante : la continuité seule ne suffit pas.
En probabilités, F sert de fonction de répartition à une loi concentrée sur l’ensemble de Cantor. Une fonction de répartition lisse convient à une loi possédant une densité ordinaire ; l’escalier du diable convient lorsque la variation est continue mais singulière.
Pour un calcul ponctuel, l’écriture ternaire est le bon outil lorsque le point appartient à l’ensemble de Cantor. Si un chiffre 1 apparaît, le point tombe dans un intervalle retiré dès ce rang ; on utilise alors la valeur constante du palier correspondant.
À ne pas confondre
Une fonction en escalier ordinaire. Une fonction en escalier classique prend un nombre fini de valeurs et présente généralement des sauts. La fonction de Cantor est continue et possède des paliers à toutes les échelles. Entre 0 et 1, elle parcourt pourtant toutes les valeurs intermédiaires.
L’ensemble de Cantor. L’ensemble est le sous-ensemble de [0,1] obtenu en retirant successivement les tiers centraux. La fonction est une application définie sur tout [0,1]. Le nombre 1/2 n’appartient pas à l’ensemble, tandis que F(1/2) désigne la valeur 1/2 de la fonction sur le grand palier.
Limites et pièges
« Croissante » ne signifie pas strictement croissante. Dès que deux points appartiennent au même intervalle retiré, leurs images sont égales. Sur [1/3, 2/3], la valeur reste exactement 1/2.
« Presque partout » ne signifie pas partout. La dérivée vaut zéro hors de l’ensemble de Cantor, donc sur un ensemble de longueur totale 1. Sur l’ensemble de Cantor, elle peut ne pas exister ou ne pas être finie ; il ne faut pas lui attribuer partout la valeur zéro.
Il n’y a pas de contradiction avec le théorème fondamental du calcul. L’identité qui reconstruit une fonction par intégration de sa dérivée exige notamment l’absolue continuité. La fonction de Cantor est continue mais pas absolument continue.
Une écriture ternaire peut être double. Une extrémité d’intervalle possède parfois une écriture finie et une écriture terminée par une infinité de 2. Pour appliquer la conversion chiffre à chiffre sur l’ensemble de Cantor, on retient l’écriture qui n’emploie que 0 et 2 ; les deux extrémités d’un palier conduisent à la même valeur.
Pour aller plus loin
ensemble de Cantor — Pour retrouver la construction par retraits successifs qui détermine les paliers et concentre toute la variation de la fonction.
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