Étagée (fonction)

Imaginez une courbe formée de quelques paliers horizontaux. À chaque zone de départ, la fonction attribue une valeur constante : 2 ici, 1 plus loin, 0 ailleurs. Même si l'ensemble de départ contient une infinité de points, la liste des hauteurs reste finie.

Une fonction étagée découpe ainsi son domaine en zones mesurables et associe un nombre à chacune. Cette structure simple rend son intégrale directement calculable et sert ensuite à approcher des fonctions positives plus générales.

Soit un espace muni d'une mesure. Une fonction réelle f définie sur cet espace est dite étagée, ou simple, si elle est mesurable et si son image est finie. Autrement dit, f ne prend qu'un nombre fini de valeurs.

En notant a₁, …, a_n ces valeurs et A₁, …, A_n les ensembles mesurables sur lesquels elles sont prises, on peut écrire :
La fonction indicatrice de A_k, notée par le symbole du dernier facteur, vaut 1 sur A_k et 0 ailleurs. En choisissant les A_k comme ensembles de niveau de f, ils sont deux à deux disjoints et leur réunion est tout le domaine.

La mesurabilité des zones est indispensable : le seul fait de prendre peu de valeurs ne suffit pas sur un espace mesuré. Pour une fonction étagée positive, son intégrale est obtenue en pondérant la mesure de chaque zone par la valeur correspondante. Cette règle est le point de départ de l'intégrale de Lebesgue pour les fonctions positives mesurables.

Une fonction étagée réunit quatre éléments. Son domaine appartient à un espace mesuré. Une partition finie du domaine en zones mesurables A_k fournit des ensembles deux à deux disjoints qui couvrent le domaine. Une liste finie de valeurs a_k donne la hauteur associée à chaque zone. Enfin, les fonctions indicatrices activent la bonne valeur selon le point considéré.

Les zones doivent appartenir à la tribu du domaine ; changer seulement la mesure sur ce même espace mesurable ne change donc pas leur mesurabilité. La valeur de f en un point dépend ensuite de l'unique zone qui contient ce point. Une partition par ensembles de niveau suffit à reconstruire f sans ambiguïté ; pour une fonction positive et une partition mesurable finie, son intégrale vaut la somme, éventuellement infinie, des produits a_k μ(A_k), avec la convention 0 × ∞ = 0. Le tracé en paliers est seulement une représentation familière, pas un élément de la définition.

Sur la droite réelle munie de la mesure de longueur, considérons une fonction f. Elle vaut 2 sur [0, 1[, 1 sur [1, 3] et 0 partout ailleurs. Ses seules valeurs sont donc 0, 1 et 2. La figure matérialise ces trois niveaux et les extrémités incluses ou exclues.

1. Les intervalles [0, 1[ et [1, 3] sont mesurables et disjoints.
2. La fonction s'écrit avec leurs indicatrices :
3. Le premier intervalle a pour longueur 1 et le second pour longueur 2.
4. L'intégrale sur la droite réelle est donc :

Le contrôle se refait en additionnant l'aire des deux rectangles : 2 × 1 puis 1 × 2. Les points isolés aux extrémités ont une longueur nulle, donc leur inclusion ne change pas le résultat.

Lorsqu'une fonction positive prend déjà un nombre fini de valeurs, on repère ses ensembles de niveau, on mesure chacun d'eux, puis on additionne les valeurs pondérées. Ce calcul direct est préférable à une approximation inutile.

Lorsqu'une fonction positive mesurable prend une infinité de valeurs, on choisit plutôt une suite de fonctions étagées qui croît vers elle. Les intégrales simples obtenues à chaque étape fournissent la construction de son intégrale de Lebesgue.

Pour vérifier qu'une fonction donnée est étagée, deux contrôles sont nécessaires : sa liste de valeurs doit être finie et les zones correspondant à ces valeurs doivent être mesurables. Un dessin comportant des paliers ne remplace pas ces vérifications.

Fonction étagée et fonction en escalier. Une fonction en escalier est constante sur un nombre fini d'intervalles d'une droite. Une fonction étagée peut être constante sur des ensembles mesurables de forme quelconque. Si les zones ne sont pas des intervalles, elle peut être étagée sans être une fonction en escalier au sens usuel.

Fonction étagée et fonction indicatrice. Une indicatrice ne prend que les valeurs 0 et 1. Une fonction étagée peut prendre davantage de valeurs et s'exprime comme une combinaison linéaire finie d'indicatrices. L'exemple à trois niveaux est donc étagé, mais ce n'est pas une indicatrice.

Une infinité de paliers. Une fonction qui prend une infinité de valeurs n'est pas étagée, même si son graphe semble composé de marches. Il faut alors l'approcher par des fonctions étagées au lieu de la traiter comme l'une d'elles.

Des zones non mesurables. Une fonction à deux valeurs seulement n'est pas automatiquement mesurable. Si l'ensemble où elle vaut 1 n'est pas mesurable dans l'espace considéré, elle ne satisfait pas la définition ; il faut changer de cadre mesurable ou renoncer à l'intégrer dans ce cadre.

Une représentation non unique. Des indicatrices portant sur des ensembles qui se recouvrent peuvent décrire la même fonction, mais la somme des mesures pondérées ne se lit pas alors comme si ces ensembles formaient une partition. Pour calculer sans double comptage, on revient aux ensembles de niveau disjoints.

Une intégrale infinie reste possible. Une fonction étagée positive peut avoir une valeur non nulle sur un ensemble de mesure infinie. Elle conserve un nombre fini de valeurs, mais son intégrale peut valoir +∞ ; « étagée » ne signifie donc pas « intégrable à valeur finie ».

La fonction indicatrice isole le bloc élémentaire utilisé dans toute décomposition d'une fonction étagée.

La fonction mesurable précise la condition qui rend les ensembles de niveau compatibles avec une mesure.

L'intégrale de Lebesgue prolonge le calcul des fonctions étagées aux fonctions positives mesurables par approximation croissante.