AnalyseObjet mathématique · Glossaire
Dirichlet (fonction de
La fonction de Dirichlet est la fonction définie sur les réels qui vaut 1 si x est rationnel et 0 si x est irrationnel. C'est un exemple classique de fonction non intégrable au sens de Riemann, car ses oscillations sont maximales en tout point. Elle est cependant intégrable au sens de Lebesgue, son intégrale valant 0, car l'ensemble des rationnels est de mesure de Lebesgue nulle. La fonction de Dirichlet illustre les limites de l'intégrale de Riemann et la nécessité de l'intégrale de Lebesgue.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la valeur de la fonction pour une entrée rationnelle ou irrationnelle.
- Refaire l’argument des sommes de Darboux sur [0, 1].
- Relier l’intégrale de Lebesgue nulle à la mesure nulle des rationnels.
- Distinguer cette fonction de la fonction êta de Dirichlet.
En clair
Choisissez un nombre réel, même très près d’un autre. S’il peut s’écrire comme une fraction d’entiers, la fonction de Dirichlet lui associe 1. Sinon, elle lui associe 0.
Entre deux nombres, aussi proches soient-ils, on trouve toujours des rationnels et des irrationnels. La valeur saute donc sans cesse entre 0 et 1 : aucun grossissement ne lisse ce comportement.
Définition
On note ℚ l’ensemble des nombres rationnels, c’est-à-dire des quotients d’entiers à dénominateur non nul. La fonction de Dirichlet, notée ici D, est définie sur ℝ par :
Les rationnels et les irrationnels sont tous deux denses dans ℝ : tout intervalle de longueur strictement positive contient des nombres des deux sortes. Ainsi, au voisinage de chaque réel, D prend les valeurs 0 et 1. Elle est donc discontinue en tout point. Sur tout segment non réduit à un point, elle n’est pas intégrable au sens de Riemann. Elle est mesurable et intégrable au sens de Lebesgue ; son intégrale vaut 0, car ℚ est de mesure de Lebesgue nulle.
De quoi c'est fait
La fonction repose sur quatre éléments. Son domaine est ℝ. Le test d’appartenance demande si l’entrée appartient à ℚ. Deux valeurs de sortie seulement sont possibles : 1 pour un rationnel et 0 pour un irrationnel. Enfin, la densité des deux ensembles impose l’alternance locale des sorties.
Le test détermine la valeur de D, tandis que la densité explique sa discontinuité partout. Le choix graphique des points, de l’échelle ou des couleurs ne définit pas la fonction. Les quelques abscisses représentées dans la figure illustrent exactement la règle, mais ne peuvent montrer les deux ensembles infinis en entier.
Un exemple, pas à pas
Étudions D sur le segment [0, 1]. Les données sont la règle D(x) = 1 pour x rationnel, D(x) = 0 sinon, et une partition quelconque de [0, 1] en sous-intervalles de longueur positive.
1. Dans chaque sous-intervalle, choisissez un rationnel : D y vaut 1.
2. Dans le même sous-intervalle, choisissez un irrationnel : D y vaut 0.
3. L’infimum de D sur chaque morceau vaut donc 0, et son suprémum vaut 1.
4. Toute somme inférieure de Darboux vaut 0. Toute somme supérieure vaut la longueur totale, soit 1.
5. Comme ces deux valeurs ne peuvent se rapprocher, D n’est pas intégrable au sens de Riemann sur [0, 1].
2. Dans le même sous-intervalle, choisissez un irrationnel : D y vaut 0.
3. L’infimum de D sur chaque morceau vaut donc 0, et son suprémum vaut 1.
4. Toute somme inférieure de Darboux vaut 0. Toute somme supérieure vaut la longueur totale, soit 1.
5. Comme ces deux valeurs ne peuvent se rapprocher, D n’est pas intégrable au sens de Riemann sur [0, 1].
Pour Lebesgue, l’ensemble où D vaut 1 est ℚ ∩ [0, 1], de mesure nulle. L’intégrale vaut donc exactement 0. Le contrôle consiste à refaire l’argument sur n’importe quel sous-intervalle : ses deux types de nombres donnent encore l’infimum 0 et le suprémum 1.
En pratique
En analyse, la fonction de Dirichlet sert de test immédiat pour une affirmation supposant qu’une fonction bornée est intégrable au sens de Riemann. Son oscillation sur chaque intervalle fournit le contre-exemple.
Pour choisir une notion d’intégrale, on regarde l’ensemble où la fonction prend ses valeurs. Les sommes de Darboux échouent ici, tandis que la mesure nulle des rationnels rend l’intégrale de Lebesgue adaptée.
Pour tester une continuité, on approche un réel par une suite de rationnels puis par une suite d’irrationnels. Les images tendent respectivement vers 1 et 0, ce qui exclut une limite commune.
À ne pas confondre
La fonction de Dirichlet ne doit pas être confondue avec la fonction êta de Dirichlet. La première est l’indicatrice de ℚ et ne prend que 0 ou 1 ; la seconde est définie par une série et dépend d’une variable complexe.
Elle ne doit pas non plus être confondue avec une fonction en escalier. Une fonction en escalier est constante sur des intervalles ; ici, tout intervalle de longueur positive contient les deux valeurs 0 et 1.
Limites et pièges
Dire seulement que la fonction « oscille beaucoup » ne suffit pas. Sur chaque intervalle de longueur strictement positive, son infimum est 0 et son suprémum est 1 ; l’oscillation vaut donc exactement 1.
La non-intégrabilité de Riemann concerne les segments de longueur positive. Sur un segment réduit à un seul point, la convention d’intégrale donne 0 : il faut vérifier que les bornes sont distinctes avant d’invoquer le contre-exemple.
Une liste finie de points rationnels et irrationnels ne prouve pas la densité. Pour conclure en tout point, il faut utiliser le fait que chaque voisinage contient au moins un nombre de chaque type.
« Presque partout égale à 0 » ne signifie pas « égale à 0 partout ». La fonction vaut bien 1 sur une infinité de rationnels, mais cet ensemble reste de mesure de Lebesgue nulle.
Pour aller plus loin
L’intégrale de Lebesgue explique pourquoi un ensemble dense peut néanmoins ne rien peser dans une intégrale.
La fiche Rationnels précise la nature de l’ensemble sur lequel la fonction prend la valeur 1.
L’article L'émergence des fonctions discontinues replace ce contre-exemple dans l’évolution de l’analyse.
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