Rationnels

Partager sept unités identiques entre douze personnes donne à chacune 7/12 d'une unité. Ce nombre est rationnel parce qu'une fraction de deux entiers suffit à l'écrire, avec un dénominateur différent de zéro. Sa décimale vaut 0,58333… : le chiffre 3 se répète indéfiniment.

Les nombres entiers appartiennent aussi à cette famille : 4 s'écrit 4/1. Les rationnels occupent la droite numérique très serrée ; même entre deux d'entre eux aussi proches que l'on veut, on peut toujours en placer un autre.

Un nombre rationnel est un nombre qui peut être représenté par le quotient de deux entiers. Si la lettre p désigne le numérateur et la lettre q le dénominateur, la condition indispensable est q ≠ 0. L'ensemble des nombres rationnels se note Q et s'écrit précisément $\mathbb{Q}=\{\frac{p}{q}\mid p,q\in \mathbb{Z},q\mathrm{\ne }0\}\backslash mathbb\{Q\}=\backslash left\backslash \{\backslash frac\{p\}\{q\}\backslash mid\; p,q\backslash in\backslash mathbb\{Z\},\backslash \; q\backslash neq\; 0\backslash right\backslash \}$. Une même valeur possède plusieurs écritures fractionnaires : 7/12 et 14/24 représentent le même nombre.

L'addition, la soustraction, la multiplication et la division par un rationnel non nul restent dans Q. Avec l'ordre usuel, Q est donc un corps commutatif ordonné. Il est dense dans les réels : entre deux rationnels distincts a et b, leur moyenne (a + b)/2 est encore rationnelle et se trouve strictement entre eux.

Tout rationnel possède une écriture décimale finie ou périodique à partir d'un certain rang. Réciproquement, toute décimale dont les chiffres finissent par se répéter représente un rationnel. Enfin, Q est dénombrable : ses éléments peuvent être énumérés, alors que l'ensemble des nombres réels ne le peut pas.

On étudie 7/12 et on cherche ensuite un rationnel situé entre 7/12 et 2/3. Les données sont les entiers 7 et 12, avec 12 non nul, puis le second nombre 2/3.

1. La forme 7/12 satisfait la définition : le numérateur et le dénominateur sont entiers, et le dénominateur n'est pas nul.
2. La division donne 7/12 = 0,58333… Le chiffre 3 se répète, ce qui confirme le caractère rationnel de la décimale.
3. On met les deux fractions au même dénominateur : 2/3 = 8/12.
4. Leur moyenne vaut $\frac{1}{2}(\frac{7}{12}+\frac{2}{3})=\frac{5}{8}\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash frac\{7\}\{12\}+\backslash frac\{2\}\{3\}\backslash right)=\backslash frac\{5\}\{8\}$.
5. Le résultat vérifie 7/12 < 5/8 < 2/3 : le nombre 5/8 est bien un rationnel placé entre les deux autres.

Le contrôle se refait en vingt-quatrièmes : 7/12 = 14/24, 5/8 = 15/24 et 2/3 = 16/24. Les trois numérateurs successifs rendent l'ordre immédiatement vérifiable. Une droite graduée permet de voir ce voisinage sans faire dépendre le raisonnement du dessin.

Pour partager exactement une quantité exprimée par un entier en un nombre entier de parts égales, une fraction rationnelle conserve le rapport sans arrondi. Une écriture décimale approchée devient préférable seulement si l'instrument ou le contexte impose une précision limitée.

Pour comparer 7/12 et 2/3, on choisit un dénominateur commun : 14/24 et 16/24 montrent aussitôt leur ordre. Le calcul décimal est une alternative commode, mais il faut garder assez de chiffres pour ne pas masquer une petite différence.

Dans un calcul exact, conserver 7/12 évite de remplacer le nombre par 0,58, qui n'a pas la même valeur. L'arrondi 0,58 convient lorsque deux décimales suffisent explicitement au résultat attendu.

Un nombre rationnel n'est pas un nombre irrationnel. Le critère est l'existence d'une écriture comme quotient de deux entiers avec un dénominateur non nul : 7/12 en possède une, tandis qu'un réel dont la décimale n'est jamais périodique est irrationnel.

Un nombre rationnel n'est pas nécessairement un entier. Tout entier est rationnel puisqu'il peut être divisé par 1, mais 7/12 n'est pas entier. Le test consiste à vérifier si la fraction représente une valeur entière, et non à regarder seulement sa forme.

L'écriture p/0 ne définit aucun nombre rationnel. Le symptôme est un dénominateur nul ; il faut alors interrompre la division au lieu de traiter l'expression comme une fraction ordinaire.

Une décimale finie est aussi périodique si l'on prolonge son écriture par des zéros. Ainsi 5/8 = 0,625 peut s'écrire 0,625000… ; il ne faut donc pas réserver le mot « périodique » aux répétitions visibles d'un chiffre non nul.

La représentation d'un rationnel n'est pas unique. Multiplier le numérateur et le dénominateur par le même entier non nul produit une fraction équivalente ; réduire la fraction permet d'obtenir une écriture irréductible.

La densité de Q ne signifie pas que tous les réels sont rationnels. Elle affirme seulement qu'entre deux rationnels distincts on trouve encore un rationnel. Malgré cette présence partout sur la droite, Q reste dénombrable.

Le glossaire Irrationnels précise le critère qui sépare ces nombres des quotients d'entiers.

L'article Le peuple des rationnels prolonge l'étude de la place et de l'organisation de ces nombres.