Décimaux

Un prix de 3,75 euros se lit avec trois unités, sept dixièmes et cinq centièmes. Après la virgule, chaque nouvelle position partage encore l'unité en dix parts.

Cette écriture s'arrête après deux chiffres : 3,75 est donc un nombre décimal. Il représente exactement 375 centièmes, soit la fraction 375/100, et non une valeur approchée.

Un nombre décimal est un nombre rationnel qui peut s'écrire comme une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10. Autrement dit, il existe un entier relatif appelé a et un entier naturel appelé n tels que le nombre soit égal à $a\mathrm{/}{10}^{n}a/10^n$. L'entier n peut être nul : les entiers sont donc eux aussi des décimaux.

Cette condition équivaut à posséder une écriture décimale finie. Par exemple, 3,75 = 375/100 = 15/4. Ajouter des zéros à droite de la partie décimale ne change pas le nombre : 3,75 = 3,750. Une écriture finie peut aussi se prolonger avec une infinité de 9 : 3,75 = 3,74999… ; c'est une seconde écriture du même réel, pas un nouveau nombre.

Les décimaux sont stables par addition, soustraction et multiplication. Ils sont denses sur la droite réelle : entre deux nombres réels distincts, on peut toujours trouver un décimal. En revanche, la division de deux décimaux n'est pas toujours décimale ; 1/3 a un développement périodique infini.

Un article coûte exactement 3,75 euros. Les données sont le nombre 3,75 et ses deux chiffres après la virgule. On veut retrouver la fraction décimale correspondante, puis vérifier le résultat.

1. Le dernier chiffre occupe le rang des centièmes. Le dénominateur choisi est donc 100.

2. On retire la virgule pour former le numérateur : 3,75 devient 375. On obtient exactement 3,75 = 375/100.

3. Le numérateur et le dénominateur sont divisibles par 25. La fraction réduite est 15/4, qui représente toujours 3,75 euros.

La décomposition par positions rend le calcul visible : $3,75=3+7\mathrm{/}10+5\mathrm{/}1003,75=3+7/10+5/100$. Elle correspond à trois unités, sept dixièmes et cinq centièmes.

Le contrôle consiste à diviser 375 par 100 : la virgule est déplacée de deux rangs vers la gauche et redonne 3,75. Le prix initial est donc retrouvé exactement.

Pour une somme d'argent exprimée au centime, une écriture comme 3,75 euros convient : le centième d'euro fixe deux chiffres après la virgule. Une fraction reste préférable si le partage doit rester exact sans développement fini, comme 1/3 d'euro.

Dans un calcul posé ou un tableur, les décimaux facilitent la comparaison par rangs. On aligne les virgules afin que les unités, dixièmes et centièmes soient additionnés entre eux.

Pour convertir une fraction, on cherche si elle peut être mise sur 10, 100, 1 000 ou une autre puissance de 10. Ainsi, multiplier 15/4 par 25 au numérateur et au dénominateur donne 375/100, donc 3,75.

Un décimal appartient aux rationnels, mais tous les rationnels ne sont pas décimaux. Le test porte sur le développement : 3,75 s'arrête, tandis que 1/3 = 0,333… se répète indéfiniment.

Un irrationnel n'est le quotient d'aucun couple d'entiers et son développement n'est ni fini ni périodique. À l'inverse, un décimal comme 3,75 est rationnel puisque 3,75 = 375/100.

Un nombre décimal exact ne doit pas être confondu avec un arrondi décimal. Écrire 3,75 pour 15/4 est exact ; écrire 0,33 pour 1/3 est seulement une approximation, signalée par 1/3 ≈ 0,33.

Une suite de chiffres qui s'arrête à l'écran ne prouve pas que le nombre mathématique est décimal. Une calculatrice peut afficher 0,333333 pour 1/3 : il faut vérifier si l'affichage est exact ou arrondi.

Le seuil charnière n'est pas le nombre de chiffres visibles, mais la possibilité d'une fin exacte. 3,7500 reste exactement 3,75, car les zéros finaux ne changent pas la valeur.

Une écriture finie n'est pas unique : 3,75 et 3,750 désignent le même nombre. De plus, l'écriture infinie 3,74999… a aussi cette valeur ; comparer des écritures exige donc de comparer les nombres représentés.

La division sort parfois de l'ensemble des décimaux. Même si 1 et 3 sont décimaux, leur quotient 1/3 ne l'est pas ; pour rester exact, on conserve alors la fraction plutôt qu'un arrondi.

Le glossaire Rationnels situe les décimaux dans l'ensemble plus large des quotients d'entiers.

Le glossaire Irrationnels présente les réels dont l'écriture décimale n'est ni finie ni périodique.