Développement décimal

Posez la division de 7 par 12. Après la virgule, les premiers chiffres obtenus sont 5, puis 8, puis 3. À partir de là, le même reste revient et le chiffre 3 se répète sans fin : 7 ÷ 12 = 0,58333…

Cette suite de chiffres est le développement décimal du nombre. Elle peut s'arrêter, comme dans 1/4 = 0,25, ou continuer indéfiniment. Lorsqu'un bloc finit par se répéter, le développement est périodique.

Le développement décimal d'un nombre réel est son écriture en base 10. Il comprend une partie entière, une virgule, puis des chiffres correspondant successivement aux dixièmes, centièmes, millièmes, et ainsi de suite. La suite située après la virgule peut être finie ou infinie.

Un nombre rationnel, c'est-à-dire le quotient de deux entiers dont le second n'est pas nul, possède un développement décimal éventuellement périodique. Cela signifie qu'après un nombre fini de chiffres, un même bloc se répète indéfiniment. Un développement fini entre dans ce cadre si on le prolonge par des zéros : 0,25 peut aussi s'écrire 0,25000… Réciproquement, tout développement éventuellement périodique représente un nombre rationnel.

Le développement d'un nombre irrationnel est donc infini et non périodique. L'écriture est unique si l'on exclut les développements qui se terminent par une infinité de 9. Sans cette convention, certains nombres ont deux écritures : 1,000… et 0,999… représentent le même réel.

Cherchons le développement décimal de la fraction 7/12 en effectuant la division décimale.

Données :
dividende : 7 ;
diviseur : 12 ;
base d'écriture : 10.

1. Comme 7 est inférieur à 12, la partie entière vaut 0 et le reste initial vaut 7.
2. Multiplier le reste par 10 : 70 = 5 × 12 + 10. Le premier chiffre après la virgule est 5.
3. Recommencer : 100 = 8 × 12 + 4. Le chiffre suivant est 8.
4. Recommencer encore : 40 = 3 × 12 + 4. Le chiffre suivant est 3.
5. Le reste 4 est revenu. Chaque répétition de l'opération redonne donc le chiffre 3 et le reste 4.

On obtient exactement 7/12 = 0,58333… Le contrôle consiste à isoler la partie répétée :Le résultat de la division retrouve bien la fraction de départ.

Pour écrire une fraction en décimal, la division posée produit les chiffres un à un. Si le reste devient nul, l'écriture est finie ; si un reste déjà rencontré revient, les chiffres correspondants se répètent.

Pour reconnaître un nombre rationnel à partir d'une écriture exacte, cherchez une période annoncée ou démontrée. Une simple suite de chiffres affichée par une calculatrice ne suffit pas, car l'écran ne montre qu'un préfixe fini.

Dans un calcul, conservez la fraction 7/12 quand une valeur exacte est nécessaire. Utilisez 0,583 ou 0,5833 seulement comme valeurs approchées, en indiquant le nombre de décimales retenues.

Nombre décimal et nombre rationnel. Un nombre décimal admet une écriture finie, comme 1/4 = 0,25. Tout nombre décimal est rationnel, mais 7/12 est rationnel sans être décimal : son développement 0,58333… ne s'arrête pas.

Développement décimal et valeur approchée. 0,58333… décrit exactement 7/12 grâce aux points de suspension et à la répétition établie. En revanche, 0,583 est une troncature : elle diffère de 7/12 et doit être présentée comme une approximation.

Période et chiffre répété. Une période peut comporter plusieurs chiffres. Dans 1/7 = 0,142857142857…, c'est le bloc 142857 qui se répète, et non un chiffre isolé.

Deux écritures pour un même réel. Le cas charnière est une queue infinie de 9 : 0,999… = 1, et plus généralement 0,24999… = 0,25. Pour retrouver l'unicité, on choisit habituellement l'écriture qui ne se termine pas par une infinité de 9.

Une période peut commencer plus tard. Dans 7/12 = 0,58333…, les chiffres 5 et 8 ne font pas partie de la période ; seul le chiffre 3 se répète. Il faut donc chercher une répétition à partir d'un certain rang, pas nécessairement dès la virgule.

Un préfixe ne décide pas de la nature du nombre. Même un milliard de chiffres sans répétition visible ne prouve pas qu'un réel est irrationnel. Tout préfixe fini peut être prolongé par une suite périodique. Il faut une preuve portant sur le développement entier.

suite périodique — Préciser ce que signifie la répétition d'un bloc et comment repérer sa période.

De nouveaux nombres avec Richard Dedekind — Situer la distinction entre nombres rationnels et irrationnels dans la construction des nombres réels.