Fraction continue

Prenez 43/10. Sa partie entière est 4 et il reste 3/10. En retournant ce reste, 10/3 donne une nouvelle partie entière, 3, puis un reste de 1/3. Un dernier retournement donne encore 3.

La fraction continue conserve ces parties entières successives : [4 ; 3, 3]. Chaque entier est un quotient partiel. Couper la liste après un quotient fournit une fraction simple, appelée convergent, qui se rapproche du nombre visé.

Une fraction continue simple représente un nombre réel par une partie entière, puis par une succession d'inversions et de nouvelles parties entières. On note a₀ le premier quotient partiel et a₁, a₂, … les suivants. La notation compacte [a₀ ; a₁, a₂, …] correspond à l'expression :

Dans la convention simple, a₀ est un entier quelconque et chaque quotient partiel suivant est un entier strictement positif. L'algorithme extrait la partie entière du nombre courant, puis recommence avec l'inverse de sa partie fractionnaire. Il s'arrête lorsque cette partie fractionnaire vaut zéro : le nombre initial est alors rationnel. Pour un irrationnel, le développement ne s'arrête pas. Les troncatures successives donnent des rationnels appelés convergents. Ils fournissent des approximations particulièrement efficaces, mais l'expression « meilleure approximation » dépend du critère précis retenu. Un rationnel admet deux écritures finies usuelles. Lorsqu'un développement comporte au moins un quotient partiel après a₀, imposer un dernier quotient partiel au moins égal à 2 sélectionne l'écriture canonique ; pour un entier, la forme canonique est simplement [a₀].

Développons exactement le nombre 43/10.
Données : le numérateur vaut 43, le dénominateur vaut 10 et les divisions sont euclidiennes, avec un reste entier positif inférieur au diviseur.

1. Divisons 43 par 10 : 43 = 4 × 10 + 3. Ainsi, 43/10 = 4 + 3/10 = 4 + 1/(10/3).

2. Divisons 10 par le reste 3 : 10 = 3 × 3 + 1. Comme 10/3 = 3 + 1/3, le développement devient :

3. Tronquons successivement la liste. Les convergents sont 4, puis 4 + 1/3 = 13/3, puis 4 + 1/(3 + 1/3) = 43/10. La figure montre cette progression sans modifier les données.

4. Contrôlons le dernier résultat : 3 + 1/3 = 10/3, son inverse vaut 3/10, puis 4 + 3/10 = 43/10. Le développement fini reconstruit donc exactement le nombre de départ.

Pour approcher un irrationnel par une fraction, on calcule quelques quotients partiels puis on choisit un convergent dont le dénominateur reste compatible avec la précision souhaitée. Une écriture décimale convient mieux si le nombre de chiffres après la virgule est imposé.

Pour retrouver le développement d'un rationnel, on applique les divisions successives de l'algorithme d'Euclide aux deux entiers. Le calcul s'arrête sur un reste nul. Une division décimale suffit si seule une valeur décimale est recherchée.

En théorie des nombres, les quotients partiels révèlent la qualité des approximations rationnelles et interviennent dans certaines équations diophantiennes. Une recherche exhaustive reste préférable lorsque le domaine des solutions entières est déjà fini et très petit.

Fraction ordinaire. Une fraction p/q est le quotient de deux entiers. Une fraction continue est une expression emboîtée de quotients partiels. Ainsi, 43/10 est une fraction ordinaire, tandis que [4 ; 3, 3] est son développement en fraction continue.

Écriture décimale. Elle procède par puissances de 10, alors que la fraction continue procède par parties entières et inversions. Pour 43/10, l'écriture décimale est 4,3 et le développement en fraction continue est [4 ; 3, 3].

Algorithme d'Euclide. Cet algorithme enchaîne des divisions pour calculer notamment un plus grand commun diviseur. Les mêmes quotients produisent le développement fini d'un rationnel, mais l'algorithme est la procédure et la fraction continue est la représentation obtenue.

Deux écritures pour un rationnel. Un développement fini dont le dernier quotient vaut au moins 2 peut aussi se terminer par ce quotient diminué de 1, puis par 1. Ainsi, [4 ; 3, 3] = [4 ; 3, 2, 1]. Pour obtenir l'unicité, on retient la forme canonique dont le dernier quotient est au moins égal à 2.

Division par zéro. Lorsque la partie fractionnaire devient nulle, son inverse n'existe pas. Ce symptôme marque précisément l'arrêt du développement d'un rationnel ; il ne faut pas ajouter un quotient partiel artificiel.

Troncature et égalité. Pour un développement infini, tout convergent est une approximation rationnelle, jamais l'irrationnel lui-même. Il faut donc écrire ≈ entre les deux valeurs. L'égalité n'est exacte que lorsque le développement fini est évalué en entier, comme [4 ; 3, 3] = 43/10.

« Meilleure approximation » sans critère. Les convergents ont des propriétés d'optimalité, mais celles-ci comparent des erreurs sous des contraintes précises sur les dénominateurs. Sans annoncer l'erreur mesurée et les fractions admises, le superlatif est ambigu ; il faut énoncer le critère avant de comparer.

Le nombre d'or offre un cas remarquable où le même quotient partiel se répète indéfiniment, ce qui relie autosimilarité et approximations rationnelles.

La fiche sur l'équation diophantienne replace les fractions continues dans l'étude des solutions entières et des contraintes arithmétiques.