ArithmétiqueNotion · Glossaire
écriture à virgule d'un nombre
L'écriture à virgule est la notation usuelle des nombres décimaux. Elle se compose d'une partie entière (les chiffres situés avant la virgule) et d'une partie décimale (les chiffres après la virgule). Pour un nombre décimal, cette partie décimale est finie ; on parle alors d'écriture décimale. Pour les nombres non décimaux, la partie décimale est illimitée : elle est ultimement périodique pour les rationnels (par exemple 2/3 = 0,666…) et non périodique pour les irrationnels (par exemple l'écriture à virgule de π ne se répète jamais).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Repérer la partie entière et la partie décimale.
- Décomposer 12,34 en unités, dixièmes et centièmes.
- Distinguer une écriture finie, périodique et non périodique.
- Reconnaître quand une valeur affichée est exacte ou arrondie.
En clair
Sur une étiquette affichant 12,34, la virgule partage l'écriture en deux zones. À gauche, 12 compte les unités entières. À droite, 3 indique trois dixièmes et 4 quatre centièmes. La figure matérialise cette valeur de position : un même chiffre non nul ne représente pas la même quantité selon sa place.
Lire une écriture à virgule revient donc à réunir une partie entière et des fractions de plus en plus petites de l'unité. Les premières places après la virgule valent des dixièmes, puis des centièmes, puis des millièmes.
Définition
Une écriture à virgule représente un nombre dans le système décimal de position. La virgule sépare la partie entière, placée à gauche, de la partie décimale, placée à droite. Chaque rang situé vers la droite vaut dix fois moins que le précédent : dixièmes, centièmes, millièmes, et ainsi de suite. Pour le nombre 12,34, cette décomposition s'écrit :
Un nombre décimal possède au moins une écriture dont la partie décimale s'arrête : 12,34 en est un exemple. Un nombre rationnel non décimal possède une partie décimale illimitée mais ultimement périodique ; pour 2/3, le chiffre 6 se répète dans 0,666…. Un nombre irrationnel possède une partie décimale illimitée et non périodique : les chiffres de π ne forment aucun motif qui se répète indéfiniment. Ainsi, toute écriture décimale finie est une écriture à virgule, tandis que toutes les écritures à virgule ne sont pas finies.
Un exemple, pas à pas
On veut reconstruire le nombre 12,34 à partir de la valeur de ses chiffres. Données : la partie entière est 12 ; le premier chiffre après la virgule est 3 ; le deuxième est 4 ; ces rangs valent un dixième et un centième de l'unité ; le contrôle utilisera le facteur 100.
1. On conserve les 12 unités de la partie entière.
2. Les 3 dixièmes valent 3/10, soit 0,3.
3. Les 4 centièmes valent 4/100, soit 0,04.
4. La somme donne exactement 12 + 0,3 + 0,04 = 12,34.
2. Les 3 dixièmes valent 3/10, soit 0,3.
3. Les 4 centièmes valent 4/100, soit 0,04.
4. La somme donne exactement 12 + 0,3 + 0,04 = 12,34.
Le résultat est donc 12,34 unités. Pour le contrôler, on déplace la virgule de deux rangs en multipliant par 100 : on obtient 1 234. En divisant ensuite 1 234 par 100, on retrouve exactement 12,34.
En pratique
Pour lire 12,34, on nomme d'abord 12 unités, puis 34 centièmes. Cette lecture révèle immédiatement le rang du dernier chiffre écrit, ici celui des centièmes, sans présumer la précision d'une éventuelle mesure.
Pour comparer deux écritures, on aligne les virgules et on complète mentalement avec des zéros à droite. Ainsi, 12,3 peut se lire 12,30 : la comparaison avec 12,34 se fait alors rang par rang.
Pour conserver une valeur exacte, une fraction peut être préférable lorsque l'écriture à virgule ne s'arrête pas. Pour 2/3, écrire 0,666… indique la répétition ; écrire seulement 0,67 donnerait un arrondi, pas la valeur exacte.
À ne pas confondre
Nombre décimal et écriture à virgule. Un nombre décimal admet une écriture à virgule finie. Un nombre tel que 2/3 a bien une écriture à virgule, 0,666…, mais celle-ci est illimitée : 2/3 n'est donc pas un nombre décimal.
Écriture décimale et écriture fractionnaire. Ce sont deux notations possibles d'une même valeur. Par exemple, 12,34 et 1 234/100 représentent exactement le même nombre ; la présence d'une barre de fraction, plutôt que d'une virgule, permet de les distinguer.
Limites et pièges
Une suite de chiffres coupée n'est pas le nombre complet. Dans 0,666…, les points de suspension signalent que le chiffre 6 continue indéfiniment. Sans eux, 0,666 est un nombre décimal fini, différent de 2/3.
La répétition peut commencer après quelques rangs. Pour le rationnel 1/6, l'écriture 0,1666… comporte d'abord un dixième, puis une répétition illimitée du chiffre 6. Il faut repérer le motif qui se prolonge, pas exiger qu'il commence juste après la virgule.
Une troncature de π reste une approximation. Écrire π ≈ 3,14 est correct au centième près ; écrire π = 3,14 est faux. L'absence de période signifie aussi qu'on ne peut pas compléter exactement son écriture par la répétition d'un bloc fini.
Pour aller plus loin
Le développement décimal prolonge la notion en étudiant la suite, finie ou infinie, des chiffres placés après la virgule.
La fiche Pi (calcul par la méthode de Monte-Carlo) présente un nombre irrationnel dont l'écriture à virgule est illimitée et non périodique.
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