écriture décimale

Sur une étiquette, 2 305,47 € donne un montant avec seulement dix signes possibles, les chiffres de 0 à 9. La place de chaque chiffre change sa valeur : le 2 compte des milliers, le 3 des centaines, le 4 des dixièmes et le 7 des centièmes.

La virgule sépare ici la partie entière de la partie située après l'unité. Cette écriture compacte code donc « deux mille trois cent cinq euros et quarante-sept centimes » sans écrire les mots.

L'écriture décimale représente un nombre dans un système de numération positionnel de base dix. Elle emploie les dix chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. À gauche de la virgule, les positions valent successivement une unité, une dizaine, une centaine, puis les puissances de dix suivantes. À droite, elles valent un dixième, un centième, un millième, et ainsi de suite.

Pour une écriture finie, chaque chiffre multiplie la puissance de dix attachée à sa position. Dans 2 305,47, cette décomposition vaut : Le zéro est essentiel : il indique qu'aucune dizaine n'est présente tout en maintenant les autres chiffres à leur rang.

Une écriture décimale peut être finie, comme 2 305,47, ou illimitée, comme celle de 1/3. La virgule est la convention française ; un point joue le même rôle dans d'autres conventions typographiques. Le signe moins éventuel indique le signe du nombre, mais ne constitue pas un chiffre de la numération.

Décomposons le montant 2 305,47 €. Les données sont les chiffres 2, 3, 0, 5, 4 et 7, la virgule placée après le 5, et l'euro comme unité.

1. En partant de l'unité, le chiffre 5 vaut 5 × 1 €. À sa gauche, le 0 vaut 0 × 10 €, le 3 vaut 3 × 100 € et le 2 vaut 2 × 1 000 €.

2. Après la virgule, le 4 vaut 4 × 0,1 €, soit 0,4 €, et le 7 vaut 7 × 0,01 €, soit 0,07 €. Le schéma des positions associe chaque chiffre à cette valeur exacte.

3. Additionnons les contributions : 2 000 € + 300 € + 0 € + 5 € + 0,4 € + 0,07 € = 2 305,47 €.

4. Contrôlons le résultat : les quatre premiers chiffres redonnent 2 305 €, tandis que 0,4 € + 0,07 € = 0,47 €. La partie entière et la partie décimale recomposent bien le montant initial.

Pour saisir un montant affiché en chiffres, repérez d'abord le séparateur décimal et l'unité. Dans 2 305,47 €, la virgule fait préférer une lecture en euros et centimes à une lecture du seul entier 230 547.

Pour comparer deux écritures décimales positives, comparez leurs parties entières, puis les dixièmes, les centièmes et les rangs suivants. Ajouter des zéros à droite aide à aligner 2 305,47 et 2 305,5 sous la forme 2 305,47 et 2 305,50 ; le second nombre est alors le plus grand.

Pour calculer avec un nombre dont l'écriture décimale est illimitée, une fraction peut être plus exacte qu'une troncature. Ainsi, gardez 1/3 dans un calcul exact ; l'écriture 0,33 n'en est qu'une valeur approchée au centième.

Écriture décimale et nombre décimal. La première est une notation en base dix. Dans le vocabulaire scolaire français, un nombre décimal possède une écriture décimale finie. La fraction 1/3 admet une écriture décimale illimitée, mais n'est pas un nombre décimal selon cette définition.

Écriture décimale et écriture en lettres. « 2 305,47 » utilise des chiffres et leur position ; « deux mille trois cent cinq virgule quarante-sept » transcrit des mots. Le nombre visé peut être le même, mais le système de signes diffère.

Base dix et base deux. Une suite de chiffres ne suffit pas sans convention de base. 101 en base dix vaut cent un, tandis que 101₂ vaut cinq, car ses positions valent 4, 2 et 1.

Virgule ou point. En français, 2 305,47 emploie la virgule décimale. Un logiciel réglé pour une convention anglophone peut attendre 2305.47 ; si la saisie est refusée ou mal lue, vérifiez le séparateur demandé au lieu de changer les chiffres.

Un zéro qui tient une place. 2 305,07 € ne vaut pas 2 305,7 € : le premier montant contient zéro dixième et sept centièmes, le second sept dixièmes. Si un chiffre semble décalé, nommez chaque rang avant de calculer.

Deux écritures illimitées pour une même valeur. Une queue infinie de 9 peut rejoindre une écriture finie : $\mathrm{0,999}\dots =10\{,\}999\backslash ldots=1$. Pour désigner une forme usuelle sans ambiguïté, on retient l'écriture finie lorsqu'elle existe plutôt que sa variante terminée par une infinité de 9.

Écriture coupée et valeur approchée. Remplacer 1/3 par 0,33 supprime tous les chiffres après les centièmes. Le signe = serait faux ; écrivez 1/3 ≈ 0,33 et précisez que la valeur est arrondie au centième.

Face aux développements décimaux — Approfondir les écritures infinies, leurs périodes et les précautions nécessaires pour les manipuler.