écriture d'un nombre

Sur une étiquette, une quantité peut apparaître comme « soixante », « 60 » ou « 6 × 10 ». Ces inscriptions ont des formes différentes, mais elles indiquent le même nombre. Une écriture est donc une manière de représenter une valeur.

Le choix dépend du contexte : des mots pour lire, des chiffres pour calculer, une fraction ou une virgule pour exprimer une partie d'unité. Changer d'écriture ne change pas nécessairement le nombre représenté.

L'écriture d'un nombre est une représentation de ce nombre au moyen de mots, de chiffres ou d'opérations. Pour un entier, l'écriture en toutes lettres transcrit la numération orale. L'écriture en chiffres dépend du système de numération, de sa base et de ses symboles. Ainsi, la base deux donne une écriture binaire, la base dix une écriture décimale et la base soixante une écriture sexagésimale. Plus généralement, on peut choisir une base appelée b.

Une expression arithmétique constitue aussi une écriture. Elle est additive quand elle forme le nombre par une somme, comme 5 + 2 pour sept. Elle est soustractive quand elle utilise une différence, comme 100 − 2 pour quatre-vingt-dix-huit. Elle est multiplicative quand elle emploie un produit, comme 6 × 10 pour soixante.

Lorsqu'un nombre non entier est rationnel, une écriture fractionnaire prend la forme d'un quotient de deux entiers : le numérateur est noté a et le dénominateur non nul b. Plusieurs fractions peuvent représenter la même valeur : 1/2, 5/10 et 3/6 ont toutes pour écriture à virgule 0,5. Un nombre irrationnel ne peut pas s'écrire comme un tel quotient.

On veut reconnaître plusieurs écritures du nombre soixante. Les données sont le mot « soixante », les chiffres décimaux 6 et 0, et les puissances de deux 32, 16, 8 et 4.

1. Écrivez en chiffres décimaux : soixante devient 60.
2. Décomposez par addition : 50 + 10 = 60.
3. Décomposez par multiplication : 6 × 10 = 60.
4. En base deux, additionnez les valeurs des positions marquées par 1 : 32 + 16 + 8 + 4 = 60. Les positions de valeurs 2 et 1 sont marquées par 0, ce qui donne 111100₂.

Le résultat est toujours le nombre 60. Le contrôle consiste à refaire chaque opération : 50 + 10 et 6 × 10 valent 60, tandis que 32 + 16 + 8 + 4 vaut également 60. Ces égalités rendent visible le fait qu'une valeur unique peut avoir plusieurs écritures.

Pour lire un nombre à voix haute ou le rédiger dans une phrase, l'écriture en toutes lettres convient. Pour poser un calcul, l'écriture en chiffres est généralement plus directe.

Quand une quantité est partagée, l'écriture fractionnaire conserve la structure du partage. Si la division fournit une écriture décimale finie, l'écriture à virgule facilite souvent les comparaisons usuelles : 1/2 et 0,5 représentent la même valeur.

Dans un système de numération, il faut identifier la base avant d'interpréter les chiffres. La suite 111100₂ est une écriture binaire de 60, alors que 111100 sans indication de base est habituellement lu en base dix.

Nombre et chiffre. Le nombre est la valeur représentée ; un chiffre est un symbole employé dans une écriture. Dans 60, le nombre est soixante, tandis que 6 et 0 sont deux chiffres.

Écriture fractionnaire et fraction irréductible. Une écriture fractionnaire n'est pas nécessairement réduite. Ainsi, 1/2, 5/10 et 3/6 représentent toutes 0,5, mais seule 1/2 ne peut plus être simplifiée par un diviseur entier commun supérieur à 1.

Valeur et expression. Deux expressions différentes peuvent avoir la même valeur. Par exemple, 50 + 10 et 6 × 10 ne sont pas la même expression, mais leur calcul donne dans les deux cas 60.

Base non indiquée. Une même suite de chiffres peut changer de valeur selon la base. Le symptôme est une écriture comme 111100 sans contexte. Il faut préciser la base avant de calculer sa valeur.

Dénominateur nul. Une écriture du type a/b ne représente pas un quotient lorsque b vaut 0. Il faut exclure ce cas ou choisir une autre formulation ; remplacer b par un nombre non nul rend le quotient défini.

Égalité des écritures. Deux écritures équivalentes n'ont pas forcément les mêmes signes. Pour décider si 1/2 et 5/10 représentent le même nombre, il faut comparer leurs valeurs, pas leur apparence.

Virgule et base. Une écriture à virgule dépend elle aussi du système de numération choisi. Il faut donc connaître la base et la valeur de position des chiffres avant d'interpréter la partie située après la virgule.

écriture décimale précise le rôle des positions en base dix et la lecture des chiffres autour de la virgule.

écriture fractionnaire approfondit la représentation d'une valeur par un quotient et l'équivalence entre plusieurs fractions.

écriture binaire montre comment les seuls chiffres 0 et 1 codent un nombre à l'aide des puissances de deux.

écriture sexagésimale présente la représentation en base soixante et permet de la situer parmi les systèmes de numération.