écriture sexagésimale

Sur une horloge, 60 secondes remplissent une minute, puis 60 minutes remplissent une heure. L’écriture sexagésimale suit le même rythme : en allant d’une position vers la gauche, la valeur est multipliée par 60.

Si une convention de durée associe explicitement les trois positions aux heures, minutes et secondes, le triplet 1;2;3 se lit comme 1 heure, 2 minutes et 3 secondes. Comme nombre en base 60, l’écriture 1;2;3₆₀ désigne des positions de poids respectifs 3 600, 60 et 1 unité, sans leur attribuer à elle seule des unités de temps.

L’écriture sexagésimale est une notation positionnelle en base 60. Dans une écriture normalisée, chaque position reçoit une valeur entière de 0 à 59. Dans la partie entière, la position la plus à droite compte les unités ; chaque déplacement d’un rang vers la gauche multiplie le poids par 60. Les poids successifs y sont donc 1, 60, 60², 60³, et ainsi de suite. À droite du séparateur fractionnaire, les poids sont 1/60, 1/60², 1/60³, et ainsi de suite.

Pour les positions dont les valeurs sont notées a₂, a₁ et a₀, la valeur du nombre est $a_2\times {60}^2+a_1\times 60+a_{0}a\_2\backslash times60^2+a\_1\backslash times60+a\_0$. L’indice 60 signale la base, par exemple 1;2;3₆₀. Le point-virgule sépare ici les valeurs de position ; d’autres contextes emploient les deux-points, notamment pour le temps. Le contexte et les unités restent donc indispensables.

La numération babylonienne a utilisé ce principe de base soixante. Il en subsiste aujourd’hui la division d’une minute en 60 secondes, d’une heure en 60 minutes et du tour complet en 360 degrés.

Une durée est affichée sous la forme 1 h 2 min 3 s. Les données sont les trois valeurs 1, 2 et 3, dans cet ordre, avec 60 secondes par minute et 60 minutes par heure. On cherche sa valeur totale en secondes.

1. Écrire les positions donne 1;2;3₆₀ : le 1 occupe le rang 60², le 2 le rang 60 et le 3 le rang des unités.

2. Convertir l’heure en secondes : $1\times {60}^2=36001\backslash times60^2=3\backslash ,600$ secondes.

3. Convertir les minutes : $2\times 60=1202\backslash times60=120$ secondes.

4. Additionner les trois contributions : $3600+120+3=37233\backslash ,600+120+3=3\backslash ,723$. La durée vaut donc 3 723 secondes.

Le contrôle inverse consiste à diviser 3 723 par 60 : le reste est 3, puis le quotient 62 donne un nouveau reste de 2 et un quotient final de 1. On retrouve bien 1 h 2 min 3 s. La décomposition en trois contributions rend visible ce contrôle.

Pour lire une heure ou une durée, les deux-points et les unités indiquent le rôle de chaque position. L’écriture 1 h 2 min 3 s est pratique pour la lecture courante ; le total de 3 723 secondes est préférable pour additionner ou comparer des durées dans une seule unité.

Pour les angles, le tour complet de 360 degrés conserve la marque de la base 60. Les degrés conviennent lorsque le découpage du tour est l’information utile ; une fraction de tour peut être préférable lorsque l’on veut comparer directement une partie au tour entier.

Pour convertir une écriture sexagésimale en unités simples, on multiplie chaque valeur par le poids de sa position, puis on additionne. Pour écrire un entier non négatif en base 60, des divisions successives par 60 fournissent les restes, lus du dernier au premier. Cette méthode ne convertit pas directement une partie fractionnaire.

Écriture sexagésimale et écriture décimale. En base 60, un rang vers la gauche multiplie la valeur par 60 ; en base 10, il la multiplie par 10. Ainsi, 1;2₆₀ vaut 62 en écriture décimale, et non 12.

Nombre en base 60 et horaire. La chaîne 1:30 ne suffit pas à identifier une quantité. Avec des unités, 1 h 30 min désigne une durée ; avec un indice de base, 1;30₆₀ désigne le nombre dont la valeur décimale est 1 × 60 + 30, soit 90.

Valeur de position égale à 60. Une écriture normalisée emploie des valeurs de 0 à 59. Si une position atteint 60, le symptôme est une retenue oubliée : 0;60₆₀ doit être remplacé par 1;0₆₀.

Séparateur ambigu. Des deux-points peuvent séparer heures, minutes et secondes sans constituer à eux seuls un indice de base. Il faut rechercher l’unité, l’indice 60 ou la convention annoncée avant d’interpréter 1:30.

Positions fractionnaires. Avec la convention employée ici, le point-virgule sépare les positions entières et la virgule sépare la partie entière de la partie fractionnaire. À droite de cette virgule, les poids sont divisés par 60. Ainsi, 0,30₆₀ vaut 30/60, donc 0,5 en écriture décimale. Lire 30 comme des unités change le rang et donne un résultat faux.

Notation moderne et écriture historique. La forme 1;2;3₆₀ explicite les positions pour le calcul. Elle illustre le même principe de base soixante que la numération babylonienne, sans prétendre reproduire ses signes historiques.

base de numération — Comparer le rôle des positions en base 60 avec le principe commun aux autres bases.

La base 60 dicte encore notre emploi du temps — Relier la notation sexagésimale aux découpages du temps encore employés aujourd’hui.