degré - angle -

Deux traits partent du même point et s'écartent : le degré donne un nombre à cette ouverture. Une mesure comme 42° indique donc l'angle, et non la longueur des traits.

Pour préciser une mesure entre deux degrés, chaque degré se partage en 60 minutes d'arc. Chaque minute se partage à son tour en 60 secondes d'arc. Ainsi, 42°18'36'' décrit une ouverture plus finement que 42° seul.

Le degré est une unité de mesure d'un angle. Son symbole est °. Dans le système sexagésimal, un degré contient 60 minutes d'arc, dont le symbole est ', et une minute d'arc contient 60 secondes d'arc, dont le symbole est ''. On a donc les égalités exactes 1° = 60' et 1' = 60'', d'où 1° = 3 600''. Ces symboles s'accolent au nombre sans espace : on écrit 42°18'36''.

Une mesure peut aussi s'écrire en degrés décimaux. Les deux écritures représentent la même grandeur, mais la partie après la virgule est alors une fraction de degré et non un nombre de minutes. Par exemple, 42°18'36'' vaut exactement 42,31°. La notation en degrés, minutes et secondes d'arc demeure la référence en astronomie, en géodésie et en cartographie.

Le partage par 60 est un système sexagésimal hérité des Babyloniens. Le nombre 60 possède de nombreux diviseurs, notamment 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 et 30, ce qui facilite les subdivisions exactes.

Sur un dessin d'angle, une carte ou un relevé, plusieurs indices signalent une mesure en degrés : un nombre accolé au signe °, deux traits ou directions formant une ouverture, et parfois des nombres suivis de ' ou de ''. Ces marques donnent une mesure angulaire, pas une distance.

Une écriture décimale comme 42,31° offre une précision intermédiaire. En astronomie, en géodésie et en cartographie, la même mesure apparaît souvent sous la forme 42°18'36'', où les minutes et secondes sont des subdivisions d'arc.

La grandeur lue est l'ouverture de l'angle. Pour convertir une mesure sexagésimale en degrés décimaux, procédez dans cet ordre.
1. Conservez le nombre de degrés.
2. Divisez les minutes d'arc par 60.
3. Divisez les secondes d'arc par 3 600.
4. Additionnez les trois résultats.

La convention décisive est la base 60 : 18' ne signifie pas 0,18°. L'œil peut prendre les chiffres 18 et 36 pour des décimales, mais les signes ' et '' changent leur valeur. Le bon réflexe consiste à repérer chaque symbole avant de calculer. La figure associée montre que 42°18'36'' et 42,31° nomment exactement la même ouverture.

On veut convertir une mesure d'angle en degrés décimaux. Les données sont :
• 42 degrés ;
• 18 minutes d'arc ;
• 36 secondes d'arc ;
• 60 minutes par degré et 3 600 secondes par degré.

1. Les 18 minutes donnent 18 ÷ 60 = 0,3°.
2. Les 36 secondes donnent 36 ÷ 3 600 = 0,01°.
3. On additionne 42 + 0,3 + 0,01 = 42,31°.

La mesure cherchée est donc exactement 42,31°. Pour contrôler le résultat, on repart de la partie décimale : 0,31 × 60 = 18,6 minutes. Les 18 minutes sont conservées, puis 0,6 × 60 = 36 secondes. On retrouve bien 42°18'36''.

Pour lire ou reporter une ouverture sur un dessin, on utilise les degrés lorsque le repère porte le signe °. Si la précision demandée se place entre deux degrés entiers, on emploie des décimales ou les subdivisions sexagésimales.

En astronomie, en géodésie et en cartographie, on conserve volontiers les degrés, minutes et secondes d'arc. Les signes ' et '' indiquent immédiatement le niveau de subdivision, alors qu'une écriture décimale regroupe toute la précision après la virgule.

Pour comparer deux mesures écrites différemment, on les convertit d'abord dans la même notation. Le choix entre 42,31° et 42°18'36'' dépend alors du format attendu, pas d'une différence d'angle.

Degré et radian. Ces unités mesurent toutes deux un angle, mais leurs nombres et leurs symboles suivent des échelles différentes. Le signe ° identifie le degré ; l'abréviation rad identifie le radian. Une valeur sans unité ne permet donc pas de les distinguer.

Minute d'arc et minute de temps. La minute d'arc subdivise un angle et porte le signe '. Une minute de temps mesure une durée. Le contexte et la grandeur mesurée tranchent : 18' dans 42°18' décrit une subdivision angulaire.

Degré et pourcentage. Les symboles ° et % sont tous deux accolés au nombre, mais le premier indique une mesure d'angle. Dans 42° et 42 %, le symbole suffit à identifier la grandeur concernée.

La virgule n'est pas sexagésimale. Dans 42,31°, la partie 0,31 est une fraction décimale de degré ; elle ne signifie pas 31 minutes. Le symptôme est une conversion faite en déplaçant la virgule. Il faut multiplier la partie décimale par 60.

Soixante unités provoquent une retenue. Une écriture contenant 60'' doit être normalisée, car 60'' = 1'. De même, 60' = 1°. Il faut reporter la retenue vers l'unité immédiatement supérieure avant de comparer des mesures.

Un arrondi doit rester visible. Si la conversion produit davantage de décimales que le format ne peut en garder, une égalité exacte devient une approximation. Il faut annoncer l'arrondi et conserver assez de chiffres pour la précision recherchée.

radian — pour comparer le degré à une autre unité de mesure des angles.

Nombres complexes et trigonométrie — pour prolonger l'étude des angles dans le plan complexe.