AnalyseUnité de mesure · Glossaire
Seconde
En mathématiques et en géométrie, la seconde d'arc est une unité angulaire égale à 1/3600 de degré, soit 1/1296000 de tour complet, ou encore pi/648000 radians. Elle est notée par le symbole de double prime ″. La seconde est utilisée en astronomie, en cartographie et en géodésie pour mesurer de très petits angles. En calcul différentiel, la notation f'' désigne la dérivée seconde d'une fonction f, qui correspond à la dérivée de la dérivée.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le symbole de la seconde d'arc.
- Convertir exactement des secondes d'arc en degrés et en radians.
- Contrôler une conversion sur l'exemple de 5 025 secondes d'arc.
- Distinguer une mesure angulaire de la notation d'une dérivée seconde.
En clair
Imaginez un degré d'angle partagé en 3 600 parts égales. Chacune de ces parts est une seconde d'arc, notée ″. Cette unité sert donc à exprimer des angles beaucoup plus petits qu'un degré.
Le mot « seconde » apparaît aussi dans la dérivée seconde d'une fonction. Il ne mesure alors aucun angle : il indique que l'opération de dérivation a été effectuée deux fois.
Définition
La seconde d'arc est une unité de mesure d'angle. Son symbole est ″. Une seconde d'arc vaut exactement 1/3 600 de degré et 1/1 296 000 de tour complet.
En radians, la même valeur s'écrit . Ces trois expressions sont des conversions exactes d'un même angle, et non trois unités différentes. L'écriture 45″ signifie ainsi quarante-cinq secondes d'arc.
Dans un autre contexte, le mot « seconde » qualifie une itération de la dérivation. Si la lettre f nomme une fonction et si sa dérivée peut elle-même être dérivée, la notation f″ nomme cette dérivée seconde. Le contexte permet donc de distinguer l'unité angulaire de l'opération d'analyse.
Où on le rencontre
Sur une mesure astronomique, une carte ou un relevé géodésique, la présence du symbole ″ après un nombre signale généralement un angle exprimé en secondes d'arc. On reconnaît aussi ce contexte aux valeurs angulaires, aux degrés et aux conversions en radians.
Après le nom d'une fonction, le même double signe prend un autre sens. L'écriture f″ ne porte pas une unité : elle indique que la fonction f a été dérivée, puis que le résultat a été dérivé à son tour.
Le mode d'emploi
La grandeur lue est un angle. 1. Repérez d'abord le symbole placé après le nombre : ″ indique la seconde d'arc. 2. Pour convertir des secondes d'arc en degrés, divisez leur nombre par 3 600.
3. Pour convertir des degrés en secondes d'arc, multipliez leur nombre par 3 600. 4. Conservez le symbole de l'unité dans le résultat afin de ne pas confondre un nombre d'unités avec une mesure en degrés.
Une valeur comme 45″ peut sembler proche de 45° parce que les nombres sont identiques. Pourtant, 45″ vaut 45/3 600 de degré, soit exactement 1/80 de degré. Le bon réflexe consiste à lire le symbole avant de comparer les valeurs.
Un exemple, pas à pas
Une mesure angulaire comporte 1 degré, auquel s'ajoutent 23/60 de degré et 45 secondes d'arc. On veut exprimer l'ensemble uniquement en secondes d'arc, puis en degrés.
Données. Un degré vaut 3 600″. La fraction 23/60 de degré vaut 23 × 60″. La dernière composante vaut 45″.
1. Le degré entier donne 1 × 3 600 = 3 600″.
2. La fraction 23/60 de degré donne 23 × 60 = 1 380″.
3. Le total vaut 3 600 + 1 380 + 45 = 5 025″.
4. En degrés, 5 025/3 600 = 67/48°, soit environ 1,395 833°.
Le contrôle inverse redonne 67/48 × 3 600 = 5 025″. L'unité initiale est retrouvée exactement.
En pratique
En astronomie, la seconde d'arc exprime un très petit angle. Lorsque le degré donnerait une longue suite de décimales, cette unité garde une valeur plus directement lisible.
En cartographie et en géodésie, elle accompagne des mesures angulaires fines. Le symbole ″ indique qu'il faut convertir par un facteur 3 600 pour comparer la valeur à une mesure en degrés.
En analyse, f″ s'emploie quand la dérivée de la fonction f est encore dérivable. Dans ce cas, on lit la notation comme une seconde dérivation et non comme une mesure angulaire.
À ne pas confondre
Seconde d'arc et degré. Ce sont deux unités d'une même grandeur, mais leurs valeurs ne se lisent pas sur la même échelle. Le symbole tranche : 45″ vaut 1/80°, et non 45°.
Seconde d'arc et dérivée seconde. Le double signe suit un nombre dans 45″, qui est une mesure angulaire. Il suit le nom d'une fonction dans f″, qui est le résultat d'une dérivation effectuée deux fois.
Limites et pièges
Le symbole sans contexte. Deux apostrophes droites peuvent ressembler au symbole ″. Si la grandeur ou la fonction n'est pas indiquée, la lecture reste ambiguë ; il faut rechercher l'unité, les degrés, les radians ou le nom de la fonction.
Le seuil d'un degré. Une valeur de 3 600″ vaut exactement 1°. Au-delà, une conversion en degrés peut faciliter la lecture, mais elle ne change pas l'angle mesuré.
L'arrondi décimal. La mesure 5 025″ vaut exactement 67/48°. L'écriture 1,395 833° est seulement approchée ; une conversion inverse à partir de cet arrondi peut donc ne pas redonner exactement 5 025″.
Pour aller plus loin
Le radian donne une autre écriture des angles et permet de situer exactement la valeur π/648 000 rad d'une seconde d'arc.
L'article Des utilisations de la dérivée seconde prolonge l'autre sens du mot en montrant ce que l'itération de la dérivation permet d'étudier.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres