GéométrieUnité de mesure · Glossaire
radian
Le radian est l'unité de mesure des angles plans dans le Système international d'unités (unité dérivée, abréviation : rad). Sa définition repose sur le cercle unité : un angle au centre d'un cercle de rayon 1 mesure un radian lorsque l'arc qu'il intercepte a une longueur égale à 1. Plus généralement, un angle en radians est le rapport entre la longueur de l'arc intercepté et le rayon du cercle. Le radian est l'unité naturelle et privilégiée pour les calculs mathématiques faisant intervenir les fonctions trigonométriques, la dérivation ou l'intégration, tandis que le degré reste couramment utilisé pour les représentations graphiques et les mesures pratiques. La conversion entre les deux unités est donnée par la relation : 2π rad = 360°, soit 1 rad ≈ 57,3°.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier un angle en radians à la longueur de l'arc et au rayon.
- Reconnaître le symbole rad et distinguer radians et degrés.
- Calculer un radian sur le cercle unité et le convertir en degrés.
- Éviter de prendre une longueur d'arc pour une mesure d'angle.
En clair
Imaginez un cercle de rayon 1 et suivez sur son bord un arc de longueur 1. Les deux rayons qui encadrent cet arc forment alors un angle de 1 radian.
Cette unité compare ainsi la longueur parcourue sur le cercle à son rayon. Un tour complet vaut 2π radians, exactement comme il vaut 360°. Un radian représente donc environ 57,3°.
Définition
Le radian, de symbole rad, est l'unité dérivée du Système international pour mesurer les angles plans. Considérons un angle au centre d'un cercle. La longueur de l'arc intercepté est notée s et le rayon du cercle est noté r. La mesure de l'angle, notée par la lettre grecque θ, est le rapport . Les deux longueurs doivent être exprimées dans la même unité.
Sur le cercle unité, le rayon vaut 1 : un arc de longueur 1 intercepte donc un angle de 1 radian. La relation exacte entre les deux unités usuelles est , d'où 1 rad ≈ 57,3°. Le radian est l'unité naturelle des fonctions trigonométriques, de la dérivation et de l'intégration. Le degré demeure courant dans les représentations graphiques et les mesures pratiques.
Où on le rencontre
Sur une page de trigonométrie ou d'analyse, une mesure d'angle est souvent donnée en radians. Plusieurs indices la signalent : le symbole rad, des valeurs contenant π, l'absence du signe degré et un dessin reliant un arc au rayon d'un cercle.
Cette écriture porte la mesure d'un angle plan. Elle est privilégiée dans les calculs avec les fonctions trigonométriques, les dérivées et les intégrales. Dans un schéma destiné à une mesure pratique, le même angle peut plutôt être indiqué en degrés, avec le signe °.
Le mode d'emploi
La grandeur recherchée est l'angle au centre qui intercepte un arc choisi. Pour le mesurer, procédez dans cet ordre.
1. Relevez la longueur de l'arc, notée s.
2. Relevez le rayon du cercle, noté r.
3. Exprimez ces deux longueurs dans la même unité.
4. Calculez le quotient ; le résultat est la mesure en radians.
1. Relevez la longueur de l'arc, notée s.
2. Relevez le rayon du cercle, noté r.
3. Exprimez ces deux longueurs dans la même unité.
4. Calculez le quotient ; le résultat est la mesure en radians.
Une illusion fréquente consiste à juger l'angle d'après la seule longueur visible de l'arc. Un arc de même longueur paraît couvrir davantage un petit cercle qu'un grand : le rayon modifie le quotient. Le bon réflexe est donc de comparer l'arc au rayon, puis d'indiquer rad. Pour convertir ensuite en degrés, utilisez l'égalité exacte 2π rad = 360°.
Un exemple, pas à pas
Sur un cercle unité, on veut mesurer l'angle au centre qui intercepte un arc donné. Les données sont les suivantes :
• le rayon du cercle vaut 1 m ;
• la longueur de l'arc vaut 1 m ;
• un tour complet vaut 2π rad, soit 360°.
• le rayon du cercle vaut 1 m ;
• la longueur de l'arc vaut 1 m ;
• un tour complet vaut 2π rad, soit 360°.
1. On divise la longueur de l'arc par le rayon.
2. Pour convertir en degrés, on multiplie par 360° puis on divise par 2π.
2. Pour convertir en degrés, on multiplie par 360° puis on divise par 2π.
Une construction géométrique associe le rayon et l'arc de même longueur à cet angle.
L'angle mesure donc 1 radian, soit environ 57,3°. Le contrôle se refait sans conversion : comme l'arc et le rayon ont la même longueur, leur quotient vaut bien 1.
En pratique
Dans un calcul avec des fonctions trigonométriques, une dérivée ou une intégrale, on exprime l'angle en radians. Le radian est alors préféré au degré parce qu'il est l'unité naturelle de ces calculs.
Dans une représentation graphique ou une mesure pratique, on peut conserver les degrés si l'angle est déjà repéré avec le signe °. Le critère est donc le contexte : calcul mathématique en radians, lecture pratique souvent en degrés.
Quand deux documents n'emploient pas la même unité, on convertit avant de comparer leurs valeurs. L'égalité 2π rad = 360° fournit le repère exact ; l'approximation 1 rad ≈ 57,3° convient seulement si l'arrondi est acceptable.
À ne pas confondre
Radian et degré. Ce sont deux unités pour la même grandeur, mais leurs nombres ne se lisent pas sur la même échelle. Le signe ° identifie les degrés, tandis que rad identifie les radians : un tour vaut 360° ou 2π rad, et non 360 rad.
Mesure d'angle et longueur d'arc. La longueur d'arc est une distance mesurée sur le cercle ; le radian mesure l'angle au centre. Un arc de 1 m donne 1 rad uniquement lorsque le rayon vaut lui aussi 1 m. Le quotient arc sur rayon tranche la confusion.
Limites et pièges
Un arrondi n'est pas une égalité exacte. La valeur 1 rad ≈ 57,3° est approchée. Si un calcul exige une valeur exacte, il faut conserver 180°/π et n'arrondir qu'au résultat final.
La longueur de l'arc ne suffit pas. Deux arcs de même longueur portés par des cercles de rayons différents n'interceptent pas le même angle. Le symptôme est une mesure annoncée sans rayon ; il faut retrouver ce rayon puis calculer le rapport arc sur rayon.
Le tour complet fixe le cas charnière. Une valeur de 360 appartient à l'échelle des degrés ; en radians, le même tour vaut 2π. Pour éviter un résultat 57,3 fois trop grand, il faut repérer l'unité avant tout calcul ou toute comparaison.
Pour aller plus loin
Nombres complexes et trigonométrie — pour prolonger l'usage des angles et des fonctions trigonométriques dans le plan complexe.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres