sinus verse

Imaginez un point qui tourne sur un cercle de rayon 1, en partant de son point le plus à droite. Pendant une rotation de 0° à 180°, sa projection sur le diamètre horizontal se rapproche du centre, puis le dépasse. Le sinus verse mesure le chemin horizontal déjà parcouru depuis la position de départ.

À 60°, la projection se trouve à la moitié du rayon : l'écart vaut donc 0,5. L'ancien nom de « flèche » évoque la flèche d'un arc, c'est-à-dire l'écart entre un arc et sa corde.

Le sinus verse est une fonction trigonométrique ancienne. Pour un angle réel noté θ, mesuré en radians ou en degrés selon la convention annoncée, son sinus verse est la différence entre 1 et le cosinus de cet angle : $\mathrm{versin}(\theta )=1-\cos (\theta )\backslash operatorname\{versin\}(\backslash theta)=1-\backslash cos(\backslash theta)$. Il est sans unité.

Sur un cercle de rayon R, la longueur correspondante est $R(1-\cos (\theta ))R\backslash bigl(1-\backslash cos(\backslash theta)\backslash bigr)$. Dans un repère centré sur le cercle, un point d'angle θ a pour abscisse R cos(θ) : la longueur est donc l'écart horizontal entre ce point et la tangente située à l'abscisse R. Pour R = 1, elle varie de 0 à 2.

Aryabhata a introduit cette notion dans l'Aryabhatiya sous le nom sanskrit utkrama-jyā, ou « flèche ». Employée en Europe jusqu'au XIX^e siècle, notamment pour des approximations et en navigation maritime, elle a ensuite cédé la place à des formulations plus directes.

Sur un cercle de rayon 1, considérons un point obtenu après une rotation de 60° depuis l'axe horizontal positif. Données : le rayon vaut 1, l'angle θ vaut 60° et cos(60°) vaut exactement 1/2.

1. On applique la définition : $\mathrm{versin}({60}^{\circ })=1-\cos ({60}^{\circ })\backslash operatorname\{versin\}(60^\backslash circ)=1-\backslash cos(60^\backslash circ)$.

2. On remplace le cosinus par sa valeur exacte : $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}1-\backslash frac\{1\}\{2\}=\backslash frac\{1\}\{2\}$.

3. Le sinus verse de 60° vaut donc exactement 1/2, soit 0,5, sans unité. Sur un cercle de rayon R, la longueur représentée vaudrait R/2.

Le schéma traduit ce calcul par un écart horizontal. Le contrôle est immédiat : l'abscisse du point vaut 1/2 et celle de la tangente vaut 1 ; leur différence vaut bien 1/2.

Dans un calcul trigonométrique, le sinus verse transforme directement un cosinus en écart à 1. Si une formule contient déjà 1 − cos(θ), ce nom permet d'identifier le motif sans le redévelopper. Dans les écritures contemporaines, conserver 1 − cos(θ) est souvent préférable, car cette forme est plus largement reconnue.

Dans un texte ancien de navigation maritime ou d'approximation, rencontrer « sinus verse » ou « flèche » invite à chercher une table ou un calcul de 1 − cos(θ). Le vocabulaire moderne convient si l'on veut refaire le calcul ; le terme historique reste utile pour lire correctement la source.

Sinus et sinus verse. Le sinus d'un angle mesure l'ordonnée du point sur le cercle unité, tandis que le sinus verse mesure l'écart entre 1 et son abscisse. À 60°, ils valent respectivement √3/2 et 1/2 : les deux valeurs sont donc différentes.

Cosinus et sinus verse. Le cosinus donne directement l'abscisse du point ; le sinus verse en prend le complément à 1. Pour un angle nul, le cosinus vaut 1 alors que le sinus verse vaut 0, ce qui tranche sans ambiguïté.

Rayon non unitaire. La valeur 1 − cos(θ) est un rapport sans unité. Pour obtenir une longueur sur un cercle de rayon R, il faut la multiplier par R. Oublier ce facteur produit une valeur numériquement fausse dès que R ≠ 1.

Angles hors du premier demi-tour. Sur le cercle unité, le sinus verse reste compris entre 0 et 2 pour tout angle réel. Il vaut 0 aux tours complets et atteint 2 à 180° modulo 360°. Une interprétation comme petite flèche d'un arc doit donc préciser l'arc et l'orientation retenus.

Degrés et radians. La définition accepte les deux unités, mais une calculatrice doit être réglée sur celle de la donnée. Saisir 60 en mode radians ne calcule pas le sinus verse de 60°. Il faut vérifier le mode avant d'évaluer le cosinus.

Le cosinus d'un angle permet de retrouver l'abscisse dont le sinus verse mesure le complément à 1.

La trigonométrie sphérique replace les anciens usages de cette fonction dans les calculs de distances sur une sphère.