fonction trigonométrique

Imaginez un point qui tourne régulièrement sur un cercle. Sa hauteur monte, redescend, puis recommence ; sa position horizontale fait de même. Le sinus donne la hauteur du point et le cosinus sa position horizontale, lorsque le rayon du cercle vaut 1.

Ces valeurs dépendent de l'angle parcouru. Après un tour complet, elles se répètent : cette répétition explique pourquoi les fonctions trigonométriques décrivent naturellement des phénomènes oscillatoires.

Une fonction trigonométrique associe une valeur à un nombre réel interprété comme la mesure d'un angle en radians. Sur le cercle unité, c'est-à-dire le cercle de rayon 1 centré à l'origine, un angle orienté de mesure $xx$ détermine un point de coordonnées $(\cos x,\sin x)(\backslash cos\; x,\backslash sin\; x)$. Le cosinus est donc l'abscisse du point et le sinus son ordonnée.

La tangente est le quotient du sinus par le cosinus lorsque ce dernier n'est pas nul : $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\backslash tan\; x=\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{\backslash cos\; x\}$. La cotangente, la sécante et la cosécante s'obtiennent aussi par des quotients ou des inverses, sur les nombres où leurs dénominateurs ne s'annulent pas.

Dans un triangle rectangle, sinus, cosinus et tangente se lisent comme des rapports de longueurs pour un angle aigu. La définition par le cercle unité vaut pour tout angle réel. Les développements en séries entières fournissent encore une définition équivalente et prolongent sinus et cosinus aux nombres complexes.

La construction sur le cercle unité réunit quatre éléments. Le centre fixe l'origine du repère. Le rayon, choisi égal à 1, transforme directement les projections du point en valeurs numériques. L'angle orienté indique la position du rayon mobile à partir de l'axe horizontal positif. Enfin, le point d'intersection avec le cercle porte deux coordonnées : son abscisse est le cosinus et son ordonnée est le sinus.

La position du point dépend de l'angle, tandis que la tangente dépend des deux coordonnées par leur quotient. L'échelle du dessin, sa couleur ou la taille du cercle à l'écran ne définissent pas les fonctions : le rayon mathématique reste 1. Cette construction suffit à lire sinus et cosinus, puis à calculer la tangente lorsqu'elle existe.

Prenons sur le cercle unité un angle orienté de $\frac{\pi }{3}\backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}$ radian, soit 60°. Les données sont le rayon 1, l'angle et le point d'intersection avec le cercle. La figure matérialise les deux projections qui donnent ses coordonnées.

1. Le point associé à 60° a pour abscisse $\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\backslash cos\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash right)=\backslash frac\{1\}\{2\}$.
2. Son ordonnée vaut $\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\backslash sin\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash right)=\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$.
3. Comme le cosinus n'est pas nul, la tangente existe et vaut $\tan \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}\mathrm{/}2}{1\mathrm{/}2}=\sqrt{3}\backslash tan\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash right)=\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}/2\}\{1/2\}=\backslash sqrt\{3\}$.

Le résultat est donc le triplet exact $(\cos x,\sin x,\tan x)=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{3})(\backslash cos\; x,\backslash sin\; x,\backslash tan\; x)=\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\},\backslash sqrt\{3\}\backslash right)$ pour cet angle. Les deux coordonnées sont positives : le point appartient bien au premier quadrant, comme l'indique l'angle de 60°. Un contrôle refaisable consiste à vérifier l'identité ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1\backslash cos^2\; x+\backslash sin^2\; x=\backslash frac\{1\}\{4\}+\backslash frac\{3\}\{4\}=1$, conforme au rayon unité.

En géométrie, on emploie les rapports trigonométriques pour relier un angle aux longueurs d'un triangle rectangle. Lorsque l'angle sort de ce cadre ou dépasse un tour, la lecture sur le cercle unité devient préférable.

Pour décrire une oscillation, le sinus ou le cosinus convient lorsque la grandeur se répète avec une variation régulière. On ajuste alors l'amplitude, la période et le décalage à la situation étudiée, au lieu de changer la nature de la fonction.

En analyse, les séries de Fourier combinent des sinus et des cosinus pour étudier des phénomènes périodiques plus complexes. Une seule fonction trigonométrique suffit pour une oscillation simple ; une combinaison devient utile lorsque la forme observée comporte plusieurs rythmes.

Fonction trigonométrique et fonction trigonométrique réciproque. Le sinus transforme un angle en une valeur, tandis que l'arcsinus part d'une valeur comprise entre −1 et 1 pour fournir un angle choisi dans un intervalle conventionnel. Ainsi, $\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}\backslash sin\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{6\}\backslash right)=\backslash frac\{1\}\{2\}$, mais $\arcsin \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi }{6}\backslash arcsin\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)=\backslash frac\{\backslash pi\}\{6\}$.

Angle en degrés et angle en radians. Ce sont deux mesures du même angle, pas deux fonctions différentes. Un demi-tour mesure 180° ou $\pi \backslash pi$ radians. Avant tout calcul, l'unité attendue par l'outil doit donc être vérifiée.

Une tangente peut ne pas exister. Lorsque le cosinus vaut 0, son quotient est impossible. Cela arrive pour les angles $x=\frac{\pi }{2}+k\pi x=\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}+k\backslash pi$, où la lettre $kk$ désigne un entier. Il faut alors conserver le sinus et le cosinus sans attribuer de valeur à la tangente.

La périodicité ne rend pas les fonctions constantes. Sinus et cosinus retrouvent leur valeur après un tour complet, soit une période de $2\pi 2\backslash pi$ radians. Entre deux angles séparés de cette période, leurs valeurs varient ; il ne faut pas supprimer la variable.

La lecture dans un triangle a un cadre plus étroit. Les rapports de côtés concernent directement les angles aigus d'un triangle rectangle. Pour un angle négatif, obtus ou supérieur à un tour, le cercle unité donne la définition adaptée. Dans le domaine complexe, ce sont les séries entières qui assurent le prolongement.

Le cercle trigonométrique approfondit la lecture géométrique du sinus et du cosinus pour tout angle réel.

Le radian précise l'unité naturelle employée pour mesurer l'angle qui sert de variable.

La série de Fourier montre comment combiner sinus et cosinus pour analyser des phénomènes périodiques plus complexes.