AnalyseObjet mathématique · Glossaire
fonction circulaire réciproque
Les fonctions circulaires réciproques, ou fonctions trigonométriques inverses, associent à une valeur trigonométrique l’unique angle d’un intervalle choisi qui la produit. Comme le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente ne sont pas injectifs sur tout leur domaine, on les restreint à un intervalle où ils le sont : cette convention définit la valeur principale renvoyée par arcsin, arccos, arctan ou arccot.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la restriction qui rend chaque fonction trigonométrique inversible.
- Connaître les domaines et intervalles de valeurs d'arcsin, arccos, arctan et arccot.
- Calculer et contrôler l'arcsinus de 1/2.
- Éviter les confusions d'inverse multiplicatif, de domaine et de branche principale.
En clair
Imaginez qu’une calculatrice affiche 0,5 après avoir pris le sinus d’un angle. L’arcsinus effectue le trajet inverse : il retrouve l’angle choisi dans l’intervalle allant de −π/2 à π/2. Ainsi, l’arcsinus de 0,5 vaut π/6 radians.
Arccosinus, arctangente et arccotangente font le même travail pour cosinus, tangente et cotangente. Chaque fonction renvoie un seul angle grâce à un intervalle fixé à l’avance.
Définition
Une fonction circulaire réciproque inverse une fonction trigonométrique après restriction à un intervalle où celle-ci est injective, c’est-à-dire où deux angles distincts ne donnent pas la même valeur. Cette restriction rend la fonction bijective : chaque valeur admissible correspond alors à un unique angle de l’intervalle choisi.
Pour un nombre réel noté x, l’arcsinus va de [−1 ; 1] vers [−π/2 ; π/2], l’arccosinus de [−1 ; 1] vers [0 ; π], l’arctangente de ℝ vers ]−π/2 ; π/2[, et l’arccotangente de ℝ vers ]0 ; π[. Les deux premières n’acceptent donc que les nombres compris entre −1 et 1, tandis que les deux autres acceptent tout réel.
Pour x strictement compris entre −1 et 1, les dérivées de l’arcsinus et de l’arccosinus sont et . Pour tout réel x, celle de l’arctangente est .
De quoi c'est fait
Quatre éléments construisent une fonction circulaire réciproque. La fonction de départ est sinus, cosinus, tangente ou cotangente. Son intervalle de restriction ne conserve qu’une branche injective. L’ensemble d’entrée de la réciproque est l’image de cette branche. Son ensemble de sortie est précisément l’intervalle retenu.
Le choix de la branche détermine donc à la fois l’angle renvoyé et les bornes de sortie. L’image de la fonction de départ fixe, de son côté, les entrées acceptées. Ces données suffisent à définir la réciproque et à tracer son graphe par symétrie du graphe restreint par rapport à la droite d’équation y = x. Une autre convention de branche produirait une autre valeur principale.
Un exemple, pas à pas
On cherche l’angle principal dont le sinus vaut 1/2. Les données sont la valeur 1/2 et l’intervalle de sortie [−π/2 ; π/2] de l’arcsinus. L’angle sera exprimé en radians. Le choix de cet intervalle est essentiel, car le sinus prend la valeur 1/2 pour plusieurs angles si aucune branche n’est fixée.
1. La valeur 1/2 appartient à [−1 ; 1] : l’arcsinus est donc défini.
2. Sur le cercle trigonométrique, l’angle π/6 a pour sinus 1/2. On obtient .
3. L’angle π/6 appartient bien à l’intervalle [−π/2 ; π/2]. Il s’agit donc de la valeur principale demandée.
Le résultat exact est π/6 radian, soit environ 0,524 radian. Le contrôle consiste à reprendre le sinus : . Ce contrôle confirme à la fois la valeur trigonométrique et le choix de la branche. La figure matérialise ce retour de la hauteur 1/2 vers l’angle π/6.
En pratique
Dans un triangle rectangle, on utilise l’arcsinus lorsque le rapport connu est côté opposé sur hypoténuse. Si le rapport connu est côté adjacent sur hypoténuse, l’arccosinus est l’alternative adaptée.
Lorsque l’on connaît une pente comme rapport entre une variation verticale et une variation horizontale, l’arctangente donne l’angle principal. L’arcsinus ne convient pas à ce rapport, qui peut dépasser 1.
Dans un calcul d’intégrale, reconnaître le quotient 1/(1 + x²) conduit à l’arctangente. Si le dénominateur est plutôt une racine de 1 − x², l’arcsinus devient la primitive naturelle sur l’intervalle admissible.
À ne pas confondre
Fonction réciproque et inverse multiplicatif. La notation sin−1 peut désigner l’arcsinus, mais elle ne signifie pas 1/sin. Pour x = 1/2, arcsin(x) est un angle, tandis que 1/sin(x) est le quotient d’un par le sinus du nombre x.
Arctangente et tangente. La tangente part d’un angle et produit un nombre réel ; l’arctangente part d’un réel et produit un angle dans ]−π/2 ; π/2[. Le type de la donnée tranche entre les deux.
Réciproque et relation trigonométrique complète. Une équation comme sin(θ) = 1/2 possède plusieurs solutions si aucun intervalle n’est imposé. L’arcsinus renvoie seulement la valeur principale π/6.
Limites et pièges
Entrée hors domaine. Arcsin(2) et arccos(2) n’ont pas de valeur réelle, car 2 n’appartient pas à [−1 ; 1]. Il faut vérifier le domaine ou changer de cadre numérique.
Bornes de l’arcsinus et de l’arccosinus. Ces fonctions sont définies en x = −1 et x = 1, mais les formules de leurs dérivées réelles ont alors un dénominateur nul. Il ne faut pas leur attribuer une dérivée finie à ces bornes.
Angle principal seulement. L’égalité arcsin(sin(θ)) = θ n’est garantie que lorsque l’angle θ appartient à [−π/2 ; π/2]. Hors de cet intervalle, il faut ramener l’angle à la branche principale.
Convention de l’arccotangente. La source retient des valeurs dans ]0 ; π[, mais d’autres conventions existent. Le symptôme est un résultat décalé de π ; il faut annoncer l’intervalle de valeurs avant tout calcul.
Pour aller plus loin
La fiche fonction réciproque précise les conditions générales d’existence d’une réciproque et l’échange entre domaine et image.
La fiche fonction trigonométrique replace sinus, cosinus et tangente parmi les fonctions périodiques dont on restreint une branche.
La fiche cercle trigonométrique relie les valeurs du sinus et du cosinus aux coordonnées d’un point du cercle.
La fiche radian explique l’unité naturelle des angles employée dans les intervalles et les formules de dérivation.
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