fonction trigonométrique réciproque

Dans un triangle rectangle, mesurer les deux côtés de l'angle droit donne un rapport. Si le côté opposé mesure 3 et le côté adjacent 4, ce rapport vaut 3/4. La touche arctan d'une calculatrice effectue alors le chemin inverse de la tangente : elle retrouve l'angle, environ 36,87° ou 0,644 radian.

Arcsin et arccos font le même travail à partir d'un sinus ou d'un cosinus. Chacune renvoie un angle choisi dans un intervalle précis, afin qu'une même valeur n'aboutisse pas à une infinité de réponses.

Une fonction trigonométrique réciproque inverse une fonction trigonométrique après restriction à un intervalle où celle-ci est bijective. L'arc sinus, noté arcsin, associe à tout nombre x de [−1 ; 1] l'unique angle de [−π/2 ; π/2] dont le sinus vaut x. L'arc cosinus, noté arccos, associe à tout x de [−1 ; 1] l'unique angle de [0 ; π] dont le cosinus vaut x. L'arc tangente, noté arctan, associe à tout réel x l'unique angle de ]−π/2 ; π/2[ dont la tangente vaut x.

Ces choix donnent les identités suivantes sur les domaines indiqués : $\sin (\arcsin x)=x,\cos (\arccos x)=x,\tan (\arctan x)=x\backslash sin(\backslash arcsin\; x)=x,\backslash quad\; \backslash cos(\backslash arccos\; x)=x,\backslash quad\; \backslash tan(\backslash arctan\; x)=x$. Dans l'autre sens, arcsin(sin θ) vaut θ seulement lorsque l'angle θ appartient à [−π/2 ; π/2] ; des restrictions analogues valent pour arccos et arctan. Les valeurs renvoyées sont des angles, généralement exprimés en radians en analyse.

Le mot « inverse » désigne ici une fonction réciproque, et non l'inverse multiplicatif d'une valeur. Cette distinction est essentielle : arcsin(x) ne signifie pas 1/sin(x).

Chaque fonction trigonométrique réciproque repose sur quatre éléments liés. La fonction de départ est sin, cos ou tan. Son domaine est restreint à un intervalle principal où deux angles distincts ne donnent jamais la même valeur. L'ensemble d'arrivée contient les rapports admis : [−1 ; 1] pour le sinus et le cosinus, ℝ pour la tangente. Enfin, la fonction réciproque échange entrée et sortie : elle reçoit un rapport et rend l'unique angle de l'intervalle principal.

L'intervalle principal détermine donc à la fois l'existence et l'unicité de la réponse. Changer cet intervalle produirait une autre branche réciproque, même si la courbe trigonométrique de départ restait la même. Ces données suffisent à définir la fonction, son domaine, son image et les compositions où elle annule exactement l'opération trigonométrique.

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle α mesure 3 cm et son côté adjacent mesure 4 cm. L'hypoténuse mesure 5 cm. Nous cherchons l'angle α, situé entre 0 et π/2.

1. Le rapport associé à la tangente est le côté opposé divisé par le côté adjacent : tan(α) = 3/4.

2. Comme α appartient à l'intervalle principal de la tangente, appliquons arctan aux deux membres : $\alpha =\arctan \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{3}{4}\right)\backslash alpha=\backslash arctan\backslash !\backslash left(\backslash frac\{3\}\{4\}\backslash right)$. La figure matérialise les trois longueurs qui déterminent ce rapport.

3. Une calculatrice réglée en radians donne α ≈ 0,6435 rad. En degrés, la même mesure vaut environ 36,87°.

4. Le contrôle consiste à reprendre la tangente du résultat : tan(0,6435) ≈ 0,7500, valeur qui coïncide avec 3/4 à la précision affichée. Le triangle 3–4–5 confirme aussi que les longueurs sont compatibles, car 3² + 4² = 5².

Dans un triangle rectangle, utilisez arcsin si le côté opposé et l'hypoténuse sont connus, arccos avec le côté adjacent et l'hypoténuse, ou arctan avec les deux côtés de l'angle droit. Le choix dépend donc des longueurs disponibles.

Pour résoudre sin(θ) = x, cos(θ) = x ou tan(θ) = x, la fonction réciproque fournit d'abord une valeur principale. Si toutes les solutions sont demandées, il faut ensuite exploiter la périodicité et les symétries de la fonction trigonométrique concernée.

En coordonnées, arctan(y/x) retrouve une direction seulement si le signe de x et le quadrant sont déjà connus. Lorsque les signes de x et de y doivent déterminer le quadrant, une fonction à deux arguments de type atan2 est préférable.

En analyse, arcsin, arccos et arctan apparaissent dans certaines primitives et substitutions. Avant de dériver ou d'intégrer, contrôlez le domaine : une formule contenant arcsin(x) ou arccos(x) impose au minimum x dans [−1 ; 1].

Fonction réciproque et inverse multiplicatif. Arcsin transforme un rapport en angle, tandis que 1/sin(x) est la cosécante de l'angle x. Le test est l'unité de sortie : arcsin(1/2) renvoie l'angle π/6, alors que 1/sin(π/6) vaut le nombre 2.

Arctan et atan2. Arctan reçoit un seul rapport et renvoie un angle dans ]−π/2 ; π/2[. Une fonction atan2 reçoit deux coordonnées signées et distingue les quadrants. Ainsi, les points (1 ; 1) et (−1 ; −1) donnent tous deux le rapport 1, mais leurs directions diffèrent de π.

Radian et degré. Ce sont deux unités pour le même angle, pas deux résultats mathématiques différents. Arctan(3/4) vaut environ 0,6435 rad ou 36,87°. Vérifiez le mode de la calculatrice lorsqu'une valeur paraît incompatible avec la figure.

Entrée hors domaine. Sur les réels, arcsin(x) et arccos(x) n'existent que pour −1 ≤ x ≤ 1. Une calculatrice qui signale une erreur pour arcsin(1,2) ne manque pas de précision : le rapport demandé est impossible dans ce cadre réel.

Valeur principale seulement. Arcsin(sin θ) ne rend pas toujours θ. Par exemple, sin(5π/6) = 1/2, mais arcsin(1/2) = π/6, car π/6 appartient à [−π/2 ; π/2]. Pour retrouver toutes les solutions, ajoutez périodicité et symétries.

Bords et asymptotes. Les valeurs arcsin(±1) et arccos(±1) existent, mais leurs dérivées réelles ne sont pas finies à ces extrémités. Arctan est défini pour tout réel ; il tend vers ±π/2 lorsque son entrée tend vers ±∞, sans jamais atteindre ces deux angles pour une entrée finie.

Notation ambiguë. Selon le contexte, sin⁻¹(x) peut désigner arcsin(x), mais l'exposant −1 évoque aussi un inverse multiplicatif. Écrire arcsin(x), arccos(x) ou arctan(x) écarte l'ambiguïté ; pour le quotient, écrivez explicitement 1/sin(x).

fonction réciproque — Replacer arcsin, arccos et arctan dans le cadre général des fonctions qui échangent entrée et sortie.

bijection — Voir pourquoi l'existence d'une réciproque impose à la fois unicité de l'antécédent et couverture de l'ensemble d'arrivée.

radian — Approfondir l'unité naturelle des angles employée dans les formules d'analyse et les valeurs principales.