fonction réciproque

Une machine reçoit un nombre, le double, puis ajoute 3. Si elle affiche 11, quel nombre a-t-elle reçu ? La fonction réciproque remonte le trajet : elle retire 3, puis divise par 2, et retrouve 4.

Ce retour en arrière n'est possible sans ambiguïté que si chaque résultat correspond à une seule entrée et si tous les résultats attendus sont atteints. La fonction initiale est alors une bijection.

Une fonction réciproque, plus précisément une application réciproque, inverse l'action d'une bijection. Soit une fonction f qui associe chaque élément d'un ensemble de départ E à un élément d'un ensemble d'arrivée F. Si f est bijective de E sur F, tout élément y de F possède un unique antécédent x dans E. La fonction notée f⁻¹ envoie alors y sur cet x. Son ensemble de départ est F et son ensemble d'arrivée est E.

Les deux compositions rendent leur argument inchangé :La première identité s'applique aux éléments de F, la seconde à ceux de E. Elles expriment à la fois l'existence et l'unicité du retour.

Pour une fonction numérique continue et strictement croissante sur [a, b], l'image est [f(a), f(b)]. Si elle est strictement décroissante, l'image est [f(b), f(a)]. Sa réciproque est définie sur cet intervalle image. Les points (x, f(x)) et (f(x), x) ont leurs coordonnées échangées : les courbes de f et de f⁻¹ sont symétriques par rapport à la droite y = x. Ainsi, Arcsin est la réciproque de la restriction du sinus à [−π/2 ; π/2], de [−1 ; 1] vers [−π/2 ; π/2].

Quatre données structurent une fonction réciproque. L'ensemble E contient les entrées de la fonction initiale f ; l'ensemble F contient ses sorties. La règle f relie chaque x de E à une valeur y de F. À chaque couple (x, y) de f, la règle f⁻¹ associe le couple échangé (y, x).

Le domaine de f⁻¹ dépend donc de l'image de f, tandis que sa valeur dépend de l'unique antécédent fourni par f. La bijectivité garantit ces deux dépendances : la surjectivité ne laisse aucune valeur de F sans antécédent, et l'injectivité empêche deux antécédents concurrents. La forme ou la couleur d'une courbe ne définit pas la réciproque ; seuls les couples échangés et les ensembles concernés suffisent à la construire.

On considère la fonction f définie sur les nombres réels et à valeurs réelles. Elle double un nombre x, puis ajoute 3. On cherche sa fonction réciproque et l'antécédent de 11. Données : la règle est f(x) = 2x + 3 ; la valeur de sortie est 11.

1. On note y la sortie et on écrit y = 2x + 3.
2. On isole l'entrée : x = (y − 3)/2.
3. On échange le rôle de l'entrée et de la sortie : $f^{-1}(y)=\frac{y-3}{2}f^\{-1\}(y)=\backslash frac\{y-3\}\{2\}$.
4. Pour y = 11, on obtient f⁻¹(11) = (11 − 3)/2 = 4.

Le contrôle repart de 4 : f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. La figure associe aussi le point (0, 3) de la courbe de f au point (3, 0) de celle de f⁻¹ ; leurs coordonnées s'échangent par symétrie autour de y = x.

Pour retrouver une entrée à partir d'un résultat, on vérifie d'abord que la fonction est bijective sur les ensembles annoncés. On résout ensuite l'égalité y = f(x) en x. Une lecture graphique convient si une estimation suffit ; le calcul algébrique est préférable pour une valeur exacte.

Pour tracer la réciproque, on échange les coordonnées de plusieurs points de la courbe initiale. Le point (0, 3) devient (3, 0). Ce procédé est préférable à un dessin à main levée lorsque la symétrie par rapport à y = x doit être contrôlée.

Lorsqu'une fonction n'est pas bijective sur tout son domaine, on peut chercher une restriction où chaque valeur possède un unique antécédent. C'est le geste utilisé pour le sinus : sa restriction à [−π/2 ; π/2] admet Arcsin pour réciproque.

La fonction inverse et la fonction réciproque. La fonction inverse envoie un nombre non nul x sur 1/x. La réciproque de f annule l'action de f. Ainsi, pour f(x) = 2x + 3, la réciproque vaut (x − 3)/2, et non 1/(2x + 3).

L'image réciproque d'un ensemble. Elle regroupe tous les éléments dont l'image appartient à un sous-ensemble donné et existe même si la fonction n'est pas bijective. Une fonction réciproque, elle, renvoie une valeur vers son unique antécédent et exige une bijection.

Deux antécédents pour une même valeur. Sur les réels, la fonction x ↦ x² envoie 2 et −2 sur 4 : le retour depuis 4 n'est pas unique. Il faut restreindre le domaine, par exemple aux réels positifs ou nuls, avant de parler de réciproque.

Une valeur non atteinte. Une fonction peut être injective sans couvrir l'ensemble d'arrivée annoncé. La réciproque n'est alors définie que sur l’image effective de la fonction, sauf si l'ensemble d'arrivée est remplacé par cette image.

Des ensembles intervertis. Si f va de E vers F, f⁻¹ va de F vers E. Écrire f⁻¹(x) pour un x qui n'appartient pas à F signale une erreur de domaine, même si une manipulation algébrique semble possible.

Une réciproque non dérivable. Une bijection peut avoir une réciproque sans que celle-ci soit dérivable partout. Pour f(x) = x³, la dérivée de f s'annule en 0 et la fonction racine cubique, sa réciproque, n'est pas dérivable en 0. La formule de dérivation d'une réciproque exige donc une dérivée initiale non nulle au point considéré.

La bijection détaille la condition qui rend le retour possible pour chaque valeur, sans absence ni ambiguïté.

La fiche Antécédent précise le rôle de la valeur retrouvée lorsqu'on remonte d'une image vers son entrée.

La fonction inverse permet d'approfondir une notation souvent confondue avec celle d'une fonction réciproque.