Logique et ensemblesNotion · Glossaire
involution
Une involution, ou application involutive, est une application bijective f d'un ensemble E dans lui-même qui est égale à sa propre réciproque, autrement dit telle que f ∘ f = Id_E, où Id_E désigne l'identité sur E. Cela signifie qu'appliquer f deux fois de suite à n'importe quel élément de E redonne cet élément. Une involution est nécessairement bijective. Exemples classiques : en géométrie, toute symétrie (axiale ou centrale) est une involution, car l'image de l'image d'un point est le point lui-même. En algèbre, la conjugaison complexe est une involution sur ℂ. La négation est une involution sur l'ensemble des booléens. En combinatoire, de nombreuses preuves bijectives reposent sur la construction d'involutions sans point fixe.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître le retour à l'élément initial après deux applications.
- Vérifier le critère sur une symétrie axiale calculée pas à pas.
- Distinguer involution, bijection et application réciproque.
- Savoir que des points fixes sont compatibles avec une involution.
En clair
Imaginez un point placé à droite d'un miroir vertical. Une première symétrie l'envoie à la même hauteur, de l'autre côté. Une seconde symétrie le ramène exactement à son point de départ.
Une transformation qui annule ainsi son propre effet lorsqu'on la répète est une involution. Ce n'est pas forcément une transformation qui ne fait rien : elle peut échanger deux éléments. La propriété décisive est le retour garanti après deux applications, pour chaque élément de l'ensemble.
Définition
Soit un ensemble E et une application f qui envoie chaque élément de E vers un élément de ce même ensemble. L'application f est une involution lorsque, pour tout élément x de E, appliquer f à f(x) redonne x. L'application identité de E, notée IdE, laisse chaque élément inchangé. Le critère s'écrit :
Cette égalité impose que f soit sa propre application réciproque ; elle entraîne donc que f est bijective. Les éléments peuvent être échangés par paires, tandis que certains restent fixes. Les symétries axiale et centrale fournissent des exemples géométriques. La conjugaison complexe en fournit un sur ℂ, et la négation logique en fournit un sur les booléens. En combinatoire, on construit aussi des involutions sans point fixe afin d'apparier les objets deux à deux.
Un exemple, pas à pas
Considérons la symétrie par rapport à l'axe vertical. On la note s. Un point est repéré par deux coordonnées : x mesure sa position horizontale et y sa position verticale. La transformation conserve y et remplace x par son opposé. Prenons le point A de coordonnées (3 ; 2).
1. La règle de la symétrie est .
2. Une première application donne s(3 ; 2) = (−3 ; 2). Le point obtenu, noté A′, est à la même hauteur que A.
3. Une seconde application donne s(−3 ; 2) = (3 ; 2). Le trajet A → A′ → A rend visible le retour au point initial.
Le contrôle consiste à refaire le calcul avec un point quelconque (x ; y) : s(s(x ; y)) = s(−x ; y) = (x ; y). La règle fonctionne pour tout point du plan ; s est donc une involution.
En pratique
En géométrie, une symétrie convient lorsqu'il faut échanger les deux côtés d'un axe ou les positions opposées autour d'un centre. Le test utile consiste à transformer un point deux fois et à vérifier son retour exact.
Avec un nombre complexe, la conjugaison convient lorsqu'il faut changer le signe de la partie imaginaire tout en conservant la partie réelle. La conjuguer une seconde fois restitue le nombre initial.
Avec un booléen, la négation convient lorsqu'il faut basculer entre vrai et faux. Deux négations successives rétablissent la valeur de départ ; laisser la valeur inchangée correspondrait plutôt à l'identité.
En combinatoire, une involution sans point fixe sert à former des paires d'objets. Le geste décisif est de contrôler que chaque objet possède un partenaire distinct et que le même appariement ramène au premier objet.
À ne pas confondre
Involution et bijection. Une involution est toujours une bijection, mais une bijection quelconque ne ramène pas nécessairement chaque élément après deux applications. Sur trois éléments, la permutation a → b, b → c, c → a est bijective ; deux applications envoient a sur c, pas sur a.
Involution et application réciproque. La réciproque d'une bijection défait l'action de l'application initiale, mais il peut s'agir d'une autre application. Le cas est involutif seulement lorsque l'application et sa réciproque coïncident : f−1 = f.
Limites et pièges
Des points fixes sont permis. Une involution n'a pas besoin de déplacer tous les éléments. Pour la symétrie axiale, les points de l'axe restent fixes ; l'identité elle-même est une involution. L'absence de point fixe est une condition supplémentaire utilisée dans certaines constructions combinatoires.
Le retour doit valoir partout. Retrouver quelques éléments après deux applications ne suffit pas. Il faut vérifier f(f(x)) = x pour tout élément x de l'ensemble ; un seul contre-exemple écarte le caractère involutif.
L'ensemble de départ doit être conservé. Le second passage par f n'a de sens sous la même règle que si f envoie E dans E. Il faut donc préciser l'ensemble avant de tester l'identité, et ne pas conclure à partir d'une transformation dont le second emploi n'est pas défini.
Pour aller plus loin
La fiche bijection précise pourquoi chaque élément possède un unique antécédent, propriété indispensable pour qu'une application puisse être sa propre réciproque.
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