matrice involutive

Prenons une paire de nombres, par exemple (2, 1), et échangeons ses deux coordonnées. Elle devient (1, 2). Si le même échange est effectué une seconde fois, la paire initiale (2, 1) réapparaît.

Une matrice involutive agit de cette manière : sa transformation peut déplacer ou retourner des éléments, mais deux applications successives s'annulent. La seconde application est donc aussi l'opération inverse de la première.

Une matrice involutive est une matrice carrée, c'est-à-dire qu'elle possède autant de lignes que de colonnes. Notons M une telle matrice d'ordre n et I_n la matrice identité du même ordre. La condition qui la définit est :

Cette égalité impose que M soit inversible et que son inverse soit M elle-même. Pour l'application linéaire associée, chaque vecteur retrouve donc sa position initiale après deux applications. Si un vecteur propre non nul est multiplié par une valeur λ sous l'action de M, deux applications le multiplient par λ². Comme leur effet total est l'identité, λ² = 1 : les seules valeurs propres possibles sont 1 et −1. Une symétrie ou une réflexion linéaire fournit un exemple courant de cette structure.

Quatre éléments interviennent dans la définition. Le format carré garantit que le produit de la matrice par elle-même conserve le même ordre. Les coefficients déterminent la transformation appliquée aux vecteurs. Le produit M² décrit deux applications successives. Enfin, la matrice identité I_n représente l'absence de changement.

Les coefficients ne suffisent pas séparément : c'est leur combinaison dans le produit matriciel qui doit redonner I_n. Cette égalité relie aussi le produit à l'inverse, puisque M devient l'unique matrice qui annule son propre effet par composition. L'ordre n fixe les dimensions de M et de I_n, mais la taille ou la présentation graphique des coefficients ne change pas le caractère involutif. Ces données suffisent à tester la propriété par un calcul de produit.

Considérons la transformation qui échange les deux coordonnées d'un vecteur. Sur le vecteur de coordonnées (2, 1), elle produit (1, 2), puis le second échange restitue (2, 1). Le schéma rend visible ce trajet aller-retour.

Données.
La matrice M échange la première et la seconde coordonnée.
Le vecteur initial a pour coordonnées (2, 1).
La matrice identité d'ordre 2 est notée I₂.

Étape 1. Multiplions M par elle-même, ligne par colonne.

Étape 2. La première application envoie (2, 1) sur (1, 2). La seconde envoie (1, 2) sur (2, 1).

Contrôle. Le produit obtenu est exactement I₂. De plus, les directions portées par (1, 1) et (1, −1) sont respectivement conservée et renversée : leurs valeurs propres sont 1 et −1.

Pour vérifier une matrice donnée, on calcule son carré. Si le résultat est la matrice identité du même ordre, le test est terminé et aucun calcul séparé de l'inverse n'est nécessaire. Si le carré diffère de l'identité, la matrice n'est pas involutive.

Pour modéliser une symétrie linéaire, on applique la transformation à des vecteurs tests. Les directions laissées fixes correspondent à la valeur propre 1 ; celles dont le sens est renversé correspondent à −1. Une rotation générale n'est pas une alternative équivalente, car deux applications ne ramènent pas nécessairement chaque vecteur à son point de départ.

Pour retrouver l'entrée d'une transformation, on réapplique la même matrice à la sortie. Cette voie est préférable au calcul d'une matrice inverse lorsque la relation M² = I_n a déjà été établie.

Matrice idempotente. Une matrice idempotente vérifie P² = P, tandis qu'une matrice involutive vérifie M² = I_n. La matrice nulle est idempotente, mais elle n'est pas involutive puisque son carré reste nul.

Matrice orthogonale. Une matrice réelle orthogonale vérifie Q^TQ = I_n, où Q^T désigne sa transposée. Elle est involutive seulement si Q² = I_n. Une rotation plane d'un quart de tour est orthogonale, mais son carré est un demi-tour, pas l'identité.

Tester seulement les valeurs propres ne suffit pas toujours. Savoir qu'elles appartiennent à {1, −1} donne une condition nécessaire, pas à lui seul le produit M². Le contrôle décisif reste le calcul de M², qui doit être exactement I_n.

La taille 1 n'est pas exclue. Pour une matrice 1 × 1, le test devient le carré de son unique coefficient. Les deux matrices [1] et [−1] sont involutives ; [0] ne l'est pas.

La valeur −1 dépend du corps de nombres. Sur les nombres réels ou complexes, 1 et −1 sont distincts. Dans un corps de caractéristique 2, ils coïncident ; il ne faut donc pas y transposer sans précaution la lecture en deux directions propres distinctes.

Une égalité approchée ne prouve pas l'involution. Avec des coefficients numériques arrondis, un carré seulement proche de I_n indique une approximation. Il faut revenir aux valeurs exactes ou annoncer une tolérance adaptée au calcul.

La fiche valeur propre approfondit les directions que la transformation conserve ou renverse, associées ici aux nombres 1 et −1.

La fiche symétrie vectorielle montre comment une transformation linéaire involutive se décompose entre directions fixes et directions renversées.

La fiche application linéaire replace la matrice dans le cadre des transformations de vecteurs et de leur composition.

L'article Applications linéaires : le « noyau dur » de l'algèbre… linéaire élargit le contexte algébrique dans lequel ces matrices agissent.