matrice inverse

Imaginez une transformation qui déplace et déforme une grille sans l'écraser. Sa matrice inverse effectue exactement le trajet de retour. Appliquée après la matrice de départ, elle restitue chaque vecteur initial.

Ce retour n'est possible que si la transformation n'a perdu aucune direction. Le déterminant permet de le tester : s'il est non nul, la matrice est inversible ; s'il vaut zéro, aucun retour unique n'existe.

Une matrice inverse s'applique à une matrice carrée, donc à une matrice ayant autant de lignes que de colonnes. Pour une matrice M d'ordre n, son inverse éventuelle est l'unique matrice M⁻¹ qui redonne la matrice identité I_n dans les deux ordres de multiplication.

Cette inverse existe si et seulement si le déterminant de M est non nul. M est alors dite inversible ou non singulière. Si son déterminant vaut zéro, M est singulière et n'admet pas d'inverse. Géométriquement, l'existence de M⁻¹ signifie que l'application linéaire représentée par M est un isomorphisme de ℝⁿ sur lui-même : chaque vecteur d'arrivée possède un unique antécédent.

Quatre éléments organisent la notion. La matrice M doit d'abord être carrée d'ordre n. Ses coefficients déterminent un nombre, le déterminant, qui décide de l'existence de l'inverse. La matrice identité I_n, avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs, joue le rôle d'élément neutre. Enfin, M⁻¹ est liée à M par une multiplication dans les deux sens.

L'ordre de M fixe donc la taille de I_n et de M⁻¹. Les coefficients de M fixent son déterminant ; si celui-ci est non nul, ils déterminent aussi une inverse unique. Ces données suffisent à tester l'inversibilité, à calculer M⁻¹ et à contrôler le résultat par le produit avec M.

Considérons la matrice carrée M, d'ordre 2, dont la première ligne contient 2 et 1, et la seconde 1 et 1. Nous cherchons son inverse et vérifions le résultat.

1. Le déterminant de M vaut 2 × 1 − 1 × 1, donc 1. Comme ce nombre est non nul, M est inversible.

2. Pour cette matrice d'ordre 2, on échange les deux coefficients diagonaux, on change le signe des deux autres, puis on divise par le déterminant. Comme celui-ci vaut 1, on obtient :

3. Le contrôle consiste à multiplier M par la matrice trouvée. Les quatre coefficients obtenus sont respectivement 1, 0, 0 et 1 :

Pour résoudre plusieurs systèmes ayant la même matrice de coefficients M, une inverse déjà calculée transforme chaque second membre en solution. Si un seul système doit être résolu, l'élimination directe évite souvent de calculer toute l'inverse.

Pour annuler une transformation linéaire, on applique M⁻¹ aux vecteurs transformés. Cette opération convient lorsque le déterminant est non nul ; si la transformation a écrasé une direction, il faut renoncer à un retour unique.

Pour contrôler un calcul d'inverse, on forme les deux produits avec la matrice initiale. Une candidate exacte est validée seulement si chacun donne la matrice identité du même ordre.

Inverse et transposée. La transposée échange lignes et colonnes, tandis que l'inverse neutralise la multiplication par M. Pour l'exemple, la transposée est M elle-même, mais M n'est pas son inverse puisque M² n'est pas I₂.

Inverse et opposée. L'opposée −M change le signe de tous les coefficients et vérifie M + (−M) = 0. L'inverse relève de la multiplication : pour l'exemple, −M diffère de M⁻¹ et son produit avec M n'est pas I₂.

Inverse d'une matrice et inverse d'un nombre. Remplacer séparément chaque coefficient non nul par son inverse ne convient pas. Le critère décisif porte sur le produit matriciel complet, pas sur chaque case isolée.

Déterminant nul. Le seuil exact est zéro : dès que det(M) = 0, la matrice est singulière. Le calcul d'une inverse doit alors s'arrêter, car aucune matrice ne peut produire l'identité avec M.

Matrice non carrée. L'inverse définie ici concerne une matrice carrée et une identité du même ordre. Pour une matrice rectangulaire, il faut préciser une autre notion adaptée au problème au lieu d'écrire M⁻¹ sans définition.

Contrôle incomplet. Vérifier seulement que le déterminant est non nul prouve l'existence d'une inverse, mais ne valide pas les coefficients calculés. Le bon réflexe est de refaire le produit avec M et de retrouver exactement I_n.

La notion s'étend naturellement à l'étude des transformations linéaires bijectives. On peut ensuite examiner comment l'inverse se comporte pour un produit de matrices, une puissance ou un changement de base, en conservant toujours les hypothèses d'inversibilité.